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Praktische Grundlagen von Regelsystemen - Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit aller Systeme
ep1/2003, 5 Seiten
1 Einführung Der vorhergehende Beitrag schloss mit dem Fazit: Die Energie lässt keine Sprünge zu. Dieser Beweis ist deshalb so wichtig, weil auf diesem Ergebnis wichtige Verfahren aufbauen, wie · die Laplace-Transformation mit der Algebraisierung der Differentialgleichungen · die komplexe Übertragungsfunktion mit dem Frequenzgang · das Frequenzkennlinien-Verfahren mit der Stabilität nach Bode · viele Optimierungs-Verfahren wie die lineare und betragsoptimale Optimierung. Für die Darstellung und insgesamt für die Regelsysteme ist ein gewisses Maß an angewandter Mathematik nötig, aber der Art, dass dies in der Praxis noch gut verständlich ist. Auf die unnötig übertriebene Mathematisierung wurde bereits im letzten Beitrag hingewiesen. Dieser Beweis wird an dem bereits bekannten Elektroantrieb (Bild a) geführt. Ferner wird mit der Getriebeübersetzung ü = 1 gerechnet, da die Fälle ü < 1 und ü > 1 bereits in der Fallunterscheidung [1] untersucht wurden. 2 Bedeutung der Stetigkeit und der Linearität Wenn das System des Elektroantriebs stetig, stetig differenzierbar und damit linear, oder wegen der Stetigkeit im Arbeitspunkt A linearisierbar ist, kann die Laplace-Transformation angewandt werden zur Berechnung der komplexen Übertragungsfunktion F = f(s) mit dem Frequenzgang: (1) Die Gleichung 1 soll hier kurz interpretiert werden, sie wird später bei der Untersuchung der komplexen Übertragungsfunktion zusammen mit dem Frequenzgang genauer erörtert. Der Realanteil des Laplace-Transformation-Operators ist = 0 bei den ungedämpften Schwingungen, die am meisten in technischen Anwendungen vorkommen. Die Differentialgleichung des Motorsystems ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung und beschreibt das Drehzahlverhalten n = f (t) im Zeitbereich, auch Oberbereich genannt. Die Laplace-Transformation transformiert die Differentialgleichungen in den Frequenzbereich, auch Unterbereich genannt. Der Vorteil liegt darin, dass die Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen übergehen, wobei sich der Systeminhalt nicht ändert. Mit algebraischen Gleichungen ist viel leichter zu rechnen als mit Differentialgleichungen. Dies macht sich besonders bei komplexen Systemen bemerkbar. Ohne die Algebraisierung wäre die Systemreduktion gar nicht anwendbar und damit auch keine lineare oder betragsoptimale Optimierung. Es kann die Signalflussdiagramm-Algebra mit dem Signalflussdiagram selbst angewandt werden. Das Signalflussdiagramm ist ein besonderes Kennzeichen der gesamten Regelungstechnik und gibt die gezeichnete mathematische Struktur der Regelungen wieder. Die Fourier-Transformation ist im Ansatz der Gleichung 1 schon mit enthalten. Die Z-Transformation wird für die praktischen Grundlagen der digitalen Regelsysteme nicht gebraucht. Die digitalen Regelalgorithmen verhalten sich aufgrund der kleinen Abtastzeit Tab, die gegenüber der Hauptzeitkonstante Ts sehr viel kleiner ist, quasi analog. Es gilt nach Gleichung 19 [1] zusammen mit der kleinsten Zeitkonstanten Tmin des Systems: Tab = 0,1 Tmin Am Verlauf der Regelgröße x = f(t) ist nicht zu erkennen, ob in einem Regelkreis ein digitaler oder analoger Regler arbeitet. 3 Stetigkeit und Linearität technischer Systeme Die Untersuchungen [1] über das Massenträgheitsmoment sind beim nachfolgenden Beweis für die Stetigkeit und die stetige Differenzierbarkeit deshalb so wichtig, weil es der Träger der System-Energie ist. Zu zeigen ist: Alle technischen Systeme, die einen Energieinhalt und damit eine System-Zeitkonstante T haben sind analog, stetig, stetig differenzierbar und linear oder linearisierbar im Arbeitspunkt. Die Energie lässt in der Natur keine Sprünge zu. 3.1 Beweis der Stetigkeit Als anschauliches Beispiel wird auf den Motorantrieb zurückgegriffen, der mit allen Kurven für den Beweis der Stetigkeit und gleichmäßigen stetigen Differenzierbarkeit in Bild dargestellt ist. Die Differentialgleichung lautet: (2) Die Eingangsgröße als Eingangssprung der Spannung xe0 = Um,0 ist an der Stelle t = 0 unstetig (Bild b): (3) Der Drehzahlverlauf xa = n als Übertragungsfunktion lautet: (4) Dieser Verlauf beginnt an der Stelle t = 0 mit einer endlichen Steigung, steigt gleichmäßig stetig an und ist in jedem Punkt für t 0 stetig differenzierbar. Dabei muss die Massenträgheit durch die elektrische Energie beschleunigt werden: (5) Diese Umwandlung von elektrischer in mechanische Energie (6) (mit n in [U/min]) ändert sich nicht sprunghaft, und damit kann sich die Drehzahl n auch nur gleichmäßig stetig ändern. Daraus E E n k max k max oder = = 2 1800 E U i e m,0 m x K x a e0 = - ( ) x t x x x e e0 t 0 ( ) = { 0 a a s e x x x + = F s f ( ) s=( + j ) E E = F(j ) mit = 2 und der Zeitkonstanten des Systems T = Regelungstechnik Elektropraktiker, Berlin 57 (2003) 1 Praktische Grundlagen von Regelsystemen Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit aller Systeme Prof. E. Dittmar, Gummersbach Dieser Beitrag schließt den Beweis für die Stetigkeit und gleichmäßige stetige Differenzierbarkeit aller Regelsysteme ab. Wesentliche Grundgedanken mit praktischen Anwendungen wurden bereits in [1] angeführt. Im Zentrum stand die Dynamik der Regelgetriebe und der entscheidende Einfluss des Messortes auf die Regelungen. Prof. Edgar Dittmar ist beamteter Hochschulprofessor für elektronische Steuerungstechnik, Regel- und Computersysteme der Universität Siegen. Autor folgt: Die Energie eines Systems kann sich nie sprungartig ändern. Noch deutlicher wird dieses Naturgesetz an der Auslaufkurve des Motorantriebs (Bild b). Zum Zeitpunkt t = taus ist die Drehzahl: (7) Aufgrund der in dem Massenträgheitsmoment gespeicherten Energie fällt die Drehzahl vom Maximalwert nicht sprungartig, sondern stetig auf Null ab. Wäre das System nicht stetig, würde die Drehzahl n an der Stelle taus sofort auf Null abfallen. Aber für die Werte t taus beginnt die Auslaufkurve des Motorantriebs nach Gleichung 7. An der Stelle t = taus haben der Verlauf des Drehzahlanstiegs und der Auslaufkurve den gleichen Wert nmax = 1691 [U/min]. Daraus folgt, dass der Drehzahlverlauf an der Stelle t = taus stetig und damit der gesamte Verlauf der Drehzahlkurve nach Bild b stetig ist, aber theoretisch nicht stetig differenzierbar, da es an der Stelle t = taus zwei Steigungen gibt und damit zwei Differentialquotienten. Der schwarze Kurvenverlauf zeigt an der Stelle t = taus einen Knick. Das ist der ungünstigste denkbare Fall. Versuche haben aber gezeigt, dass der Drehzahlverlauf nach Bild b aufgrund der glättenden Wirkung der Massenträgheit keinen Knick aufweist, wie in der theoretischen Kurve, sondern abgerundet ist (rote Linie im Bild). Damit wird der Drehzahlverlauf n =f(t) über den gesamten Verlauf auch gleichmäßig stetig differenzierbar, und es ist bewiesen, dass das System im ganzen Wertebereich analog und stetig, gleichmäßig stetig differenzierbar und linear ist. 3.2 Linearität und Linearisierbarkeit der statischen Kennlinie Zu dieser dynamischen Untersuchung, die den zeitlichen Verlauf xa = f(t) beschreibt, muss nun noch die Linearität der statischen Kennlinie untersucht werden: (8) Die Differentialgleichung des Systems muss sowohl das dynamische als auch das statische Verhalten richtig beschreiben. Das statische Verhalten ist dadurch gekennzeichnet, dass sich das System im Ausgleichszustand befindet. Der Ausgleichszustand ist dann erreicht, wenn die zeitliche Änderung nach Null geht. Dies ist theoretisch für t erreicht: (9) In der technischen Praxis ist die Unendlichkeit mit der Ausgleichszeit t0 (Bild b: Drehzahlanstieg) erreicht bei: (10) Mit t = t0 in Gleichung 4 ergibt sich eine sehr gute Näherung: (11) Für den Motorantrieb lautet die statische Kennlinie der Motordrehzahl: (12) Der Index 0 zeigt an, dass der Ausgleichszustand erreicht ist. Die Enddrehzahl n0 steigt proportional mit der jeweiligen anliegenden Motorspannung Um,0 an. Weil die statische Kennlinie aus der Differentialgleichung abgeleitet ist, deren Lösung über den ganzen Wertebereich stetig und stetig differenzierbar ist, muss auch in allen Fällen die statische Kennlinie stetig und stetig differenzierbar sein. Die Ausgangsgröße xa folgt immer analog der Eingangsgröße xe. Ist der Übertragungsfaktors K = konstant, ist die statische Kennlinie (Bild c) und damit das System selbst im geltenden Wertebereich linear. Damit erfüllt das System alle Anforderungen: stetig, stetig differenzierbar, analog und linear. Die ersten drei Anforderungen von stetig bis analog erfüllen alle technischen Systeme und sind damit mindestens im Arbeitspunkt A linearisierbar (Bild d) . Dann kann, wie eingangs bereits dargestellt, die Laplace-Transformation angewandt werden. Der geltende Wertebereich der Linearität eines Systems ist durch die obere und untere Begrenzung gegeben, wie dies aus der n U 0 = Km m,0 x x x a e0 e0 Näherungsfehler = - = - ( ) ( , ) 1 0 0067 6 7 t t 0 5 5 5 0 8 = = = T = T s = 4 s m , lim T K (statische Kennlinie) a a s e a e + = ( ) x x x x x x x a e = ) n n n t t = max aus = = 0 Regelungstechnik Elektropraktiker, Berlin 57(2003) 1 35 n = xa UTh xe=Um M AM x x = UT = KT nAM Arbeitsmaschine mit Getriebe ü = 1 n = xa = xAM = x xe0 = Um0 = 2,4 V 4,0 3,0 2,0 1,0 no,max = 1691 U/min U/min 1691 1000 500 AUS Tachodynamo 0 2 4 6 taus s 0 2 4 6 taus s b) Drehzahlverlauf n = f (t) mit Auslaufkurve und Systemelement Einschaltsprung Drehzahlanstieg Auslaufkurve Legende: Systemelement 1. Ordnung als gezeichnete mathematische Struktur für das Signalflussdiagramm. c) Statische Kennlinie des Systems d) Linearisierung im Arbeitspunkt 15 V Um,max -15 V nmax = 3300 U/min xa xe, A ü T Km = Tm =Tm,AM = kmech × ( m + AM + T ) nAM xa,A a) Motorantrieb mit Tachodynamo an der Arbeitsmaschine Stetigkeit und Linearisierbarkeit technischer Systeme statischen Kennlinie in Bild c zu erkennen ist. Im Wertebereich der statischen Kennlinie, die grün gekennzeichnet ist, arbeitet das System linear. Die Steigung in diesem Bereich ist konstant und gibt den Übertragungsfaktor Ks dieses Systems wieder. Dies soll mit den Werten im Bild c des kleinen Servomotors veranschaulicht werden. Der lineare Wertebereich wird begrenzt durch die Motorspannung Um,max als Folge der begrenzten Stellenergie des Systems. Oberhalb dieser Grenze bleibt dann die Drehzahl nmax = 3300 [U/min] konstant (Bild c: schwarz gekennzeichneter Bereich). Die statische Kennlinie ist im ganzen Wertebereich stetig, aber an den Grenzen Um,max = 15 V nicht mehr stetig differenzierbar, weil an der oberen Grenze der Differentialquotient wechselt von (13) (14) als Übertragungsfaktor des Systems. In der Praxis ist dieser Übergang, der im Verlauf der statischen Kennlinie im Bild c als Knick dargestellt ist, abgerundet (roter Verlauf im Bild b). Ähnliche abrundende Glättungen treten in der technischen Praxis auch für die Totzeit Tt und sogar beim Verlauf der Regelgröße x = der Zweipunkt-Temperatur-Regelung auf. So wird die Totzeit Tt in der Phasenanschnitts-Steuerung in einem Wechselrichter durch Induktivitäten und die Massenträgheit des Motors geglättet. Die Totzeit Tt wird zur Verzugszeit Tu. Damit ist das System wieder linear. Oft wird die Transportzeit oder Laufzeit TT fälschlich als Totzeit bezeichnet. In der Praxis gibt es fast keine Totzeit oder einen Knick im Verlauf der Ausgangsgröße xa, weil die Energiespeicher des Systems den Verlauf xa glätten. Die Forderung der Linearität der statischen Kennlinie ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Linearität eines Systems. Alle Systeme, die sich aus stetigen, stetig differenzierbaren sowie linearisierbaren oder linearen Teilsystemen zusammensetzen, erben die Eigenschaften der Teilsysteme. Auch die Proportional- und Integralsysteme sind stetige, stetig differenzierbare und lineare Systeme, die vom System 1. Ordnung direkt ableitbar sind. Dies wird später noch bewiesen. Doch nicht alle Systeme haben eine absolute lineare statische Kennlinie. Der Übertragungsfaktor K ist über den ganzen Bereich nicht mehr konstant (Bild c): (15) So gehören dieser Gruppe viele Wärmekraftmaschinen sowie Kraftwerksturbinen an. Die statischen Kennlinien von Kraftwerksturbinen zeigen einen Verlauf ähnlich dem im Bild d. Da Kraftwerksturbinen für einen Turbogenerator immer konstant mit xa = n = 3000 U/min für ein 50-Hz-Netz laufen müssen, ist der Arbeitspunkt an der Stelle A genau definiert. In der Turbinenkennlinie findet man dazu die Eingangsgröße xe,A und damit auch den Übertragungsfaktor der Turbine: (16) Der Übertragungsfaktor des Systems K ist der Differentialquotient im Arbeitspunkt A. Die obige Gleichung 16 gibt den Differenzenquotient wieder. Der Zusammenhang beider Quotienten ist (17) Geometrisch ist der Übertragungsfaktor K die Steigung der Tangente an der statischen Kennlinie an der Stelle des Arbeitspunktes A. Der Übertragungsfaktor K wird in der Praxis dadurch bestimmt, dass der Arbeitspunkt mit den Koordinaten A(xe = xe,A; xa = xa,A) an der Stelle xe,A = A in die statische Kennlinie eingetragen wird. Dann wird die Tangente an die statische Kennlinie im Arbeitspunkt A angelegt (Bild d), die Strecken xe und xa eingetragen und der Übertragungsfaktor K des Systems nach Gleichung 17 berechnet. Dieses Verfahren ist für die Praxis deshalb so wichtig, weil der Verlauf der statischen Kennlinie K = f(xe) oft nur als gemessene Kurve vorliegt. Damit muss dieses geometrische Verfahren angewandt werden. Trotz unserer so digital-euphorischen Zeit sind alle Systeme stetig und analog. Es gibt in der Natur und der technischen Welt keine nichtstetigen Systeme. Alle technischen Systeme, die mindestens einen Energiespeicher, d. h. eine Zeitkonstante T haben, aber auch Maschinen wie Motoren und Turbinen, arbeiten · analog · stetig · gleichmäßig stetig differenzierbar · linear oder aber linearisierbar im Arbeitspunkt A. Diese vier Grundeigenschaften gelten für alle Systeme, auch für reine Proportional-und Integralsysteme und zusammengesetzte Systeme bis n-ter Ordnung, weil sie vom System 1. Ordnung ableitbar sind und damit diese vier Grundeigenschaften erben. Das Hauptergebnis für alle Systeme ist, dass linear zu regelnde Systeme mathematisch durch lineare und simultane Differentialgleichungen und über die Laplace-Transformation durch die komplexe Übertragungsfunktion und den Frequenzgang dargestellt werden können. Ferner kann der Standard-PID-Regler eingesetzt werden. Alle namhaften Unternehmen stellen heute für die Antriebs- und Verfahrensregelungen fast nur noch den digitalen Regler mit dem linearen PID-Algorithmus als Industrie-Standardregler her. Diese Erkenntnis erspart einen unnötigen Aufwand zu allen nichtlinearen Theorien, die nur in Sonderfällen zu brauchbaren Ergebnissen für die Praxis führen. Mit der Gleichung 7 wird bewiesen, dass das System stetig und analog und zusätzlich stetig differenzierbar ist. Ferner zeigt Gleichung 17, dass alle Systeme mindestens linearisierbar im Arbeitspunkt A sind. 4 Fazit Die Erfahrungen über den Messort [1] zeigen, dass der Messort nicht beliebig verlegt werden darf. Ferner führt die räumliche Trennung des Messortes vom Stellort zu extremen Schwierigkeiten, weil die Regelgröße x = f(t, s) zusätzlich eine Funktion des Weges s wird. So kann eine virtuelle Unstetigkeit erzeugt werden. Bei der Planung und dem Bau eines Systems oder einer ganzen Anlage muss daher a prori regelungsgerecht geplant werden, weil der Regler oder auch der PID-Regel-Algorithmus diese Fehler im System nicht mehr ausgleichen kann. Von Natur aus sind alle technischen Systeme analog, stetig, gleichmäßig stetig differenzierbar sowie linear oder linearisierbar im Arbeitspunkt A. Diese Grundeigenschaften wurden zunächst nur für ein System 1. Ordnung bewiesen, aber sie gelten für alle Systeme 1. Ordnung und für alle Systeme, die aus dem System 1. Ordnung abgeleitet werden können, beispielsweise die Proportional- und Integralsysteme, ferner Systeme n-ter Ordnung. Die Erkenntnis, dass alle Systeme stetig und gleichmässig stetig differenzierbar sind, erspart viel unnötige nichtlineare Theorien, die in der Praxis auch nicht angewandt werden. Hier kommt der lineare digitale Standardregler mit PID-Regel-Algorithmus zum Einsatz. Literatur [1] Dittmar, E.: Stetigkeit und Systemdynamik unter dem Einfluss des Regelgetriebes. Elektropraktiker, Berlin 56 (2002) 7. S. 568-572 [2] Dittmar, E.: Grundlagen und Optimierung von Regelsystemen. Bamberg: Druckerei K. Urlaub K lim e e e e A x x x = = = = e e,A a,A x x x ; ) K f( e e,A a,A x x x ; ) K = konst. e 0 für und K für e e,max e e,max e e,max x x x x x x x - = ± Regelungstechnik Elektropraktiker, Berlin 57 (2003) 1
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Autor
- E. Dittmar
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