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Praktische Grundlagen von Regelsystemen
ep9/2004, 4 Seiten
Ablauf und Signalfluss mit Ansatz zur Optimierung Das Ablaufdiagramm in Bild ist die komplett gezeichnete mathematische Struktur des PID-Regel-Algorithmus mit Signalflussdiagramm des Systems im geschlossenen digitalen Regelkreis. Gewöhnlich werden das Signalflussdiagramm und das Ablaufdiagramm getrennt gezeichnet. Hier ist es so entwickelt, dass beide einen geschlossenen Regelkreis bilden. Ferner ist die betragsoptimale Auslegung ebenfalls eingetragen. Die Ordnung des Systems im Signalflussdiagramm bestimmt dabei die Art des Regel-Algorithmus. Nach der betragsoptimalen Auslegung ist ein System 3. Ordnung das höchste, das durch einen PID-Regel-Algorithmus beherrscht werden kann, ein System 2. Ordnung durch einen PI-Regel-Algorithmus. Für ein System 1. Ordnung errechnet sich ein reiner I-Regel-Algorithmus. Das Ablaufdiagramm mit dem PID-Regel-Algorithmus nach der Rechteckregel wurde speziell für den Drehstromantrieb als schnelles System entwickelt. Ein voller Regelungszyklus beginnt mit der Übernahme der digitalen Regelgröße xi in den PID-Algorithmus. Es wird die digitale Regeldifferenz xdi aus der Regelgröße xi (abgetastet aus der analogen Stammfunktion) und dem Zahlenwert der Führungsgröße w gebildet und steht als Zahlenwert im Rechenspeicher. Die Multiplikation der optimalen Verstärkung ergibt den P-Anteil, der zur späteren Addition zur Gesamtformel abgespeichert wird. Danach wird mit der Integrierzeitkonstanten TI der I-Anteil gebildet. Zusammen mit dem P-Anteil ergibt sich der PI-Regel-Algorithmus. Bei ihm sind die optimalen Verstärkungsfaktoren KP und KPm noch identisch, da gilt TD = 0 A TV = 0. In der vorletzten Stufe wird aus der Regeldifferenz xdi zusammen mit der Differenzierzeitkonstanten TD der D-Anteil gebildet. In der letzten Stufe werden der P-, I- und D-Anteil zur Endformel des PID-Regel-Algorithmus summiert. Mit dem D-Anteil im Algorithmus beginnt die Differenzierung zwischen dem Verstärkungsfaktor KP und der Betragsoptimierung KPm, wie dies bei der Optimierung nach Ziegler-Nichols gezeigt wurde. Der D/A-Wandler wandelt die digitale Stellgröße yi in die analoge Stellgröße y als Eingangsgröße des Systems um. Die Regelgröße x als analoge Ausgangsgröße des zu regelnden Systems wird über den A/D-Wandler dem PID-Regel-Algorithmus wieder zugeführt. Damit ist der digitale Regelkreis geschlossen und ein Reglerzyklus durchlaufen. Mathematische Optimierung von digitalen Regelungen 2.1 Selbstoptimierung Grundsätzlich kann man für die digitalen Regelungen - wie gezeigt - das empirische Verfahren von Ziegler-Nichols anwenden. Bei schnellen Regelungen jedoch ist ein mathemati- Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 9 734 FÜR DIE PRAXIS Regelungstechnik Praktische Grundlagen von Regelsystemen Ablauf- und Signalflussdiagramm mit mathematischer Optimierung E. Dittmar, Gummersbach In [1] wurde gezeigt, dass sich in der Praxis der digitale PID-Regel-Algorithmus auf die Algebra und die Grundlagen der numerischen Mathematik zurückführen lässt. Dieser Beitrag beschreibt das kombinierte Ablauf- und Signalflussdiagramm. Darüber hinaus wird der Ansatz zur mathematischen Optimierung von digitalen Regelungen weitergeführt. Autor Prof. Edgar Dittmar ist beamteter Professor für elektronische Steuerungstechnik, Regel- und Computersysteme der Universität Siegen. Ablaufdiagramm des PID-Regel-Algorithmus mit Signalflussdiagramm und selbstoptimierender betragsoptimaler Auslegung sches Optimierungverfahren effektiver, weil hier die Methode der Selbstoptimierung angewandt werden kann. Der Rechner berechnet sich selbst vor dem Start der digitalen Regelung mit der Eingabe der Systemkonstanten KS, K1, K2, K3, T1, T2 und T3 seine Optimalkonstanten KP, Tn und Tv für den PID-Regel-Algorithmus. Diese Optimalkonstaten sind invariant und können wie bei dem empirischen Verfahren nach Ziegler-Nichols direkt auf den PID-Regel-Algorithmus übertragen werden. Die Betragsoptimierung arbeitet im Frequenzbereich. Die Bestimmungsgleichungen gehen davon aus, dass der Betrag des Amplitudenverlaufs des Frequenzgangs Fw des geschlossenen optimalen Regelkreises bis zu möglichst hohen Werten lange nivelliert sein soll. Das Verfahren liefert nach ausführlichen Laborversuchen stabile optimale Reglerkonstanten KP, Tn und Tv bei Schwankungen der Systemkonstanten Ki und Ti bis zu 20 % mit einer hohen Stabilitätsreserve. Die Grundprinzipien sind im Einzelnen: 1. Nivellierung des Frequenzgangs Fw (1) 2. Der Computer fragt ab, ob alle Zeitkonstanten vorhanden sind und sortiert sie nach der Größe: T3 > 0, T2 > 0, T1 > 0 A T3 > T2 > T1 A Tmax = T3, Tmit = T2, Tmin = T1 3. Die Kompensation der Zeitkonstanten des Systems reduziert die Phasenverschiebung und stabilisiert damit die Regelung: a) Die größte Zeitkonstante Tmax wird immer mit dem Integralanteil kompensiert: Tn = Tmax um mit einem zu großen D-Anteil das Rauschen nicht zu verstärken. b) Die mittlere Zeitkonstante Tmit wird durch den D-Anteil kompensiert: Tv = Tmit c) Die kleinste Zeitkonstante Tmin bleibt erhalten, um das System schnell zu machen. Sind alle drei Zeitkonstanten vorhanden, liegt ein System 3. Ordnung vor, und der Computer berechnet die optimalen Regelkonstanten für den PID-Regel-Algorithmus: (2) Die optimale Verstärkung ist (3) Darin ist der Verstärkungsfaktor KP die Verstärkung des Einkanal-Kompaktreglers, der auf den Mehrkanal-Regler für den PID-Regel-Algorithmus umgerechnet werden muss [4]: (4) Mit einer parallelen Struktur kann nur empirisch wie nach Ziegler-Nichols optimiert werden, aber nicht mathematisch vorausberechnend [4]. 2.2 Optimales Übergangsverhalten Nach der Kompensation erhält man die komplexe Übertragungsfunktion (Frequenzgang) mit s = jt = j 2/f des offenen, kompensierten, optimalen Regelkreises: (5) FR = Frequenzgang des virtuellen Reglers FS = Frequenzgang des Systems Die Differentialgleichung des geschlossenen, optimalen Regelkreis lautet: (6) Die Lösungsfunktion dieser Differentialgleichung ist die optimale Übergangsfunkion des betragsoptimalen Regelkreises der digitalen Regelung x = f(t) bei einem Eingangssprung der Führungsgröße w (Bild ). Die Lösung dieser Differentialgleichung liefert folgende vorausberechenbare, optimale Übergangswerte: 1.Die Anregelzeit ist der Zeitpunkt, an dem die Regelgröße x erstmalig die Führungsgröße w erreicht: tan = 4,7 Tmin 2.Die Ausregelzeit ist der Zeitpunkt, nach dem die Regelgröße x für immer auf der Führungsgröße w bleibt, d. h. der Regelungsfehler 6f = 0 ist. Die exakte mathematische Definition besagt, dass ein Toleranzband von ± 2 % nicht mehr verlassen wird (Bild ): taus = 10 Tmin Die optimale Dämpfung ist D = 1/ bei einem maximalen Überschwingen von 4,3 %. Das System 3. Ordnung und der PID-Regel-Algorithmus enthalten alle anderen Systeme niedrigerer Ordnung. Der Rechner kann bereits bei der Eingabe der Systemkonstanten Ki und Ti nach der Ordnung des Systems eine Fallunterscheidung durchführen und entscheiden, welcher Algorithmus - PID, PI, PD oder I - für das System erforderlich wird. Für ein Integralsystem TI,s mit einem System 1. Ordnung reicht zur Optimierung der reine P-Algorithmus und für ein Integralsystem mit zwei Systemem 1 .Ordnung wird zur Optimierung ein PD-Regel-Algorithmus benötigt. Damit enthält die Fallunterscheidung fünf zu optimierende Systeme. Es wird zunächst vom Signalflussdiagramm und Ablaufdiagramm in Bild mit den Zahlenwerten für den Drehstromantrieb ausgegangen. Wenn es geht, sollte man möglichst min 2 min x x w + = F F F sT sT ok,opt R S min min = = ( ) = + ´ u 2K T max S min y x x x x i i i i i = + + < [ ] Pm d d d F oder 20 log dB w,opt = = u = A = A = < = A = x w x w x f 1 0 0 0 Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 9 735 ohne D-Anteil in einer Regelung auskommen. Dies gilt besonders für die innere Schleife einer Kaskadenregelung, weil das Differenzieren das Rauschen verstärkt, oder mathematisch ausgedrückt: Differenzieren bewirkt das Aufrauhen einer Funktion, Integrieren das Glätten einer Funktion. Wenn man die Zahlenwerte des Drehstromantriebs betrachtet, dann sind die elektronischen Zeitkonstanten T1 und T2 nach der Worst-Case-Methode zu groß angesetzt. Soll die elektronische Zeitkonstante mit berücksichtigen werden, dann lässt sich diese zu einer Verzugszeitkonstanten Tu zusammenfassen: (7) Ein System ist dann gut regelbar, wenn folgendes Verhältnis von der Verzugszeitkonstanten Tu zur Hauptzeitkonstanten Tmax eingehalten wird: (8) (mit dem Zahlenwert S = 0,225 erfüllt). Das Prinzip der Summen der kleinen Zeitkonstanten ist für Systeme bis n-ter Ordnung anwendbar, wenn es eine Hauptzeitkonstante Tmax gibt, mit der die obige Bedingung für die Regelbarkeit erfüllt ist. Ein weiteres gutes Beispiel ist der Ruderwinkel-Regelkreis mit der Regelgröße x = ` einer Düsenverkehrsmaschine mit der mechanischen Hauptzeitkonstanten des Seitenruders Tmax,`, der mechanischen Zeitkonstanten des Hydraulikantriebs TH, die man als mechanische Zeitkonstante nicht einfach verschwinden lassen kann, und die elektronische Ansteuerung der Hydraulik Te vom Autopiloten oder Steuerknüppel. Damit lauten die Systemkonstanten: KS = K1 ·K2 ·K3 = 1 Tmax = T3 = 0,8 s > Tmin = Tu = 0,18 s Tmit = T2 * = 0, weil T2 in Tu aufgegangen ist. Für den Fall, dass Tmit = 0 A Tv = Tmit = 0 A TD = 0 ergibt sich nach dem Ablaufdiagramm ein PI-Regel-Algorithmus (9) mit den optimalen Regelungskonstanten: (10) Die Computer-Simulation in Bild bestätigt dieses Ergebnis. Der niedrige Verstärkungsfaktor, der fast immer unter 30 liegt, ist das Geheimnis der hohen Stabilitätsreserve von über 20 %. Zum Teil wurden auch Werte für KP < 1 mit dem gleichen optimalen Verlauf wie in Bild berechnet. Vor dem Realisieren der digitalen Antriebsregelung mit dem Drehstrommotor wurden die Systemkonstanten KS und T exakt zahlenmäßig analysiert. Die Differentialgleichung des Drehstromantriebs (vgl. ep 4/2002, S. 286-289) wird mit der Operatorrechnung in die komplexe Übertragungsfunktion und den Frequenzgang überführt: (11) Damit wird die Betragsoptimierung für den Drehstrommotor-Antrieb später im Vergleich zu den gemessenen Werten berechnet. Darin ist die analoge Eingangsgröße des gesamten Antriebs xe = y. Die Ausgangsgröße xa = UT ist die analoge Regelgröße x. Der Drehstromantrieb mit elektronischem Spannungs-Frequenzumsetzer und Wechselrichter erreicht bei xe = y = 5 V seine maximale Drehzahl nmax = 2000 U/min bei einer Leistung von Wmax = 1,3 kW. Dabei gibt der Tachodynamo genau UT = 5 V ab. Daraus errechnet sich der Übertragungsfaktor des Systems in Übereinstimmung mit dem Signalflussdiagramm: (12) Die Zeitkonstante des Gesamtsystems Tm ist das Zeitintervall, bei dem in der Hochlaufkurve 67,3 % erreicht werden. Das ist die Drehzahl nmax = 0,67 · 2000 U/min = 1346 U/min. Es konnte nur eine Zeitkonstante des Drehstromantriebs ermittelt werden, wie dies die Fachleute für die Antriebsregelung schon vorausgesagt haben: Tm = 0,8 s (13) Dieser Wert wurde durch eine genaue Frequenzgang-Messung Fs bestätigt. Das Ergebnis ist, dass eine mechanische Zeitkonstante die gesamte Systemdynamik bestimmt. (14) Es liegt ein System 1 .Ordnung vor. Dafür wird nach der Betragsoptimierung ein reiner I-Regel-Algorithmus angesetzt: x(s) y(s) s s=j =j2 t /f K K K K S 1 2 3 T,max max = = = F s 1 + sT m a a S e a a min x x x x x + = A = A = = = ( ) T T T s 2K T T s T s T s n max 3 max S min min = = = = = A = 0 8 2 22 0 36 0 18 0 025 y x x i i i = + Pm d S = max ) 0 25 T T T T s u 1 2 = = + = - i 0 18 Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 9 736 FÜR DIE PRAXIS Regelungstechnik Simulation der Sprungantwort einer digitalen Regelung. Das Programm läuft in einer virtuellen DOS-Maschine (VDM) unter Windows XP. (15) Ferner gibt es bei einer System-Zeitkonstanten keinen Unterschied in der Größe: Tm = Tmax = Tmin = 0,8 s (16) Damit errechnet sich die Ausregelzeit zu: tan 5 taus = 10 Tmin = 8 s (17) Die gemessene Anlaufkurve ist vermutlich unter der Oberwelligkeit des Wechselrichters etwas abgeflacht, damit stärker gedämpft (D 5 1) und daher überschwingfrei mit Ü 5 0. Für Kaskaden- und Positionsregelungen ist dies sogar ein Vorteil. Im ersten Versuch wurde die Ausregelzeit gemessen mit taus = 8,4 s. Damit ist die Ausregelzeit gegen den Idealwert um 6t = 0,4 s verlängert, bei absoluter Stabilität der Antriebsregelung mit Drehstrommotor. Das Überschwingen tritt bei allen Anlaufkurven nur bei einem Eingangssprung beim Einschalten auf, bei Anfahren im Normalbetrieb hingegen nie. Somit ist die Ausregelzeit taus die Hauptgröße für das Übergangsverhalten einer Antriebsregelung. 2.3 Virtuelle DOS-Maschinen für Multitasking in Echtzeit Die digitale Regelung der Drehstrommotor-Antriebsregelung wie auch die Computer-Simulation in Bild laufen in einer virtuellen DOS-Maschine und zwar schon unter Windows 3.11, 95/98 und auch noch unter XP mit der VDM-XP. Die Programme sind mit 85 kB für die Regelung und 35 kB für die Simulation sehr kompakt und entsprechend effektiv. Der mathematische Kern beider Programme für den PID-Algorithmus ist identisch. Daher sind die Aussagen über die Stabilität einer digitalen Regelung mit der Computer-Simulation sehr zuverlässig. Windows XP hat den Kernel von NT 4.0 geerbt und damit auch den Kommando-Interpreter CMD, der in allen Betriebssystem bis Windows 98SE „Command.com“ war. Auch in XP gibt es multitaskingfähige, schnelle virtuelle DOS-Maschinen (VDM-XP), die im Arbeitsspeicher im geschützten Bereich einen kompletten 486er-Rechner mit 32-bit-Local-Bus im eigenen geschützten Bereich abbilden. Die volle Effektivität zeigen die virtuellen DOS-Maschinen bei der Realisierung digitaler Regelungen im Multitasking-Betrieb, wobei eine oder auch zwei Visualisierung-VDMs zusätzlich eingerichtet sein können. Fazit In [1] und in diesem Folgebeitrag wurde der digitale PID-Regel-Algorithmus, der das Kernstück jeder digitalen Regelung ist, mit der numerischen Mathematik abgeleitet, ohne dass dazu die höhere Mathematik mit der Integral- und Differentialrechnung benötigt wird. Diese digitalen Regelungen erben die Grundeigenschaften der Stetigkeit und stetigen Differenzierbarkeit des zu regelnden Systems [2]. Dadurch lassen sich die linearen Optimierungs-Verfahren von der linearen, analogen Regelung auf die digitale Regelung übertragen. Dabei bleiben die optimalen Reglerkonstanten KP, Tn und Tv invariant. Die Abtastzeit Tab geht nicht direkt in die Reglerkonstanten ein, sondern nur in die Genauigkeit der numerischen Integration und Differentiation. Das Besondere in der Darstellung von Bild liegt darin, dass es die Betragsoptimierung mit dem Ablaufdiagramm des PID-Regel-Algorithmus und mit dem Signalflussdiagramm der digitalen Antriebsregelung mit den A/D-D/A-Wandlern verbindet und dadurch einen geschlossenen digitalen Regelkreis darstellt. Dadurch ist nun auch klar zu erkennen, wo und wie die einzelnen analogen und digitalen Systemgrößen auftreten und eingreifen. Alle vorangegangenen Untersuchungen wurden durch Versuche und Computer-Simulation unter den erschwerten Bedingungen Genauigkeit des Multitaskings im Echtzeitbetrieb im Labor bestätigt. Der Multitaskingbetrieb in Echtzeit mit der exakt durchgerechneten Optimierung für zwei Antriebsregelungen in zwei virtuellen DOS-Maschinen ist das Kernstück eines Folgebeitrages zur digitalen Regelung. Die digitale Regelung wird durch den Multitaskingbetrieb mit Kaskaden-, Mehrgrößen- und adaptiven Regelungen erst richtig effektiv. Literatur [1] Dittmar, E.: Mathematische Grundlagen und Optimierung digitaler Regelungen. Elektropraktiker, Berlin 58(2004) 7, S. 574-577. [2] Dittmar, E.: Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit der Systeme. Elektropraktiker, Berlin 57(2003) 1, S. 34-38. [3] Dittmar, E.: Synthetische und hybride Systememit Aufbau einer digitalen Regelung. Elektropraktiker, Berlin 58(2004) 2, S. 134-136. [4] Dittmar, E : Elektronisches Regelungsmodell mit Mehrkanal-Regler, Patentschrift Nr. 250834. [5] Proise. J.: Tutoral: Windows Multitasking. PC Magazine 13(1994)H.9. [6] Dittmar, E.: Grundlagen und Optimierung von Regelsystemen. Bamberg: Druckerei K. Urlaub 1990. y x i i Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 9 737
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- E. Dittmar
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