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Praktische Grundlagen von Regelsystemen
ep2/2004, 3 Seiten
Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 2 134 FÜR DIE PRAXIS Regelungstechnik Systemgruppen Die Gruppen aller Systeme teilen sich auf in natürliche Systeme, zu denen auch alle technische Systeme gehören, in synthetische und hybride Systeme (Bild ). 1.1 Gruppe der natürlichen Systeme Als natürliche Systeme werden alle Systeme bezeichnet, deren Ein- und Ausgangsgrößen xe und xa natürliche physikalische Größen wie Strom, Spannung, Bewegung, Kraft, Druck oder Temperatur sind. Die letzten vier Größen kommen außer in technischen Systemen auch im lebenden Organismus vor. Bekannt sind die kybernetischen Regelkreise wie Blutdruck-, Herzfrequenz- und Temperaturregelung. Sie gehören alle zu den stetigen und gleichmäßig stetig differenzierbaren Systemen (Bild , Gruppe 1) [2]. 1.2 Gruppe der synthetischen Systeme Als synthetische Systeme werden hier alle unstetigen Systeme wie Zweipunkt-Regler und binäre Systeme bezeichnet (Bild , Gruppe 2). Sie kommen in der Natur nicht vor und arbeiten nach dem EIN-AUS- und binären logischen 0-1-Prinzip. Diese Gruppe von Systemen ist nicht stetig und daher auch nicht stetig differenzierbar. Daraus folgt, dass diese auf einem sehr niedrigen Energieniveau arbeiten müssen (im Gegensatz zur Gruppe 1, der z. B. stetig und analog arbeitenden Maschinen wie Elektromotoren), weil sich die Energie nicht sprungartig von Null auf volle Leistung - entsprechend einer Aus-Ein-Schaltphase - ändern kann [1]. Folgende Hauptsystemarten gehören zu der Gruppe der synthetischen Systeme: Zweipunkt-Regler. Diese nichtstetigen Regler arbeiten mit einer großen Zeitkonstanten T und werden daher bei fast allen Temperatur-Regelungen eingesetzt. Dies ist ein weites Anwendungsgebiet. SPS. Die speicherprogrammierbare Steuerung arbeitet nach dem nichtstetigen, binären System. Mathematisch wird der Funktionsablauf, der oft sehr komplex sein kann, mit den Wahrheitstabellen, der Booleschen Algebra und dem Logikschaltplan dargestellt. Computer und digitale Regler. Beide Systeme arbeiten binär. Analoge Regler gibt es kaum noch in der industriellen Praxis. Alle großen Hersteller bauen digitale PID-Standard-Regler. Der digitale PID-Regelalgorithmus wird auf dem Computer oder im PID-Regler durch Programmierung mathematisch abgebildet, oft in der Programmiersprache C++. Man könnte einwenden, dass sowohl bei der digitalen Regelung als auch bei der Zweipunkt-Regelung hohe Energien auftreten. Dies ist aber nur ein scheinbarer Widerspruch. Die hohe Energie fließt nur in dem zu regelnden System als Energiefluss und wird von dem nichtlinearen Regler mit sehr geringer Energie geregelt. Der Messwertgeber filtert den Signalfluss als Regelgröße x mit niedrigem Energieniveau heraus und führt sie dem Regler zu, der über seine Stellgröße wiederum einen Leistungsverstärker ansteuert (Bild a und b). 1.3 Hybride Systeme Die Standard-Regelung mit stetigen und analogen Reglern ist ein homogenes, geregeltes System, das innerhalb des linearen Wertebereichs als Gesamtsystem überall und in allen Elementen der Regelung stetig und linear oder linearisierbar ist (Bild , Gruppe 1). Ein Beispiel dafür ist die Drehzahlregelung des Motorantriebs mit einem analogen Regler. Wie in [2] gezeigt, ist der digitale PID-Regel-Algorithmus als virtueller Regler quasi analog. Damit kann er mathematisch bei der Optimierung wie der analoge Regler behandelt werden (Bild , grüne Verbindungslinie). Der Aufbau der digitalen Regelung wird in Bild an dem schon bekannten Umformersatz gezeigt [2]. Die digitale Regelung als hybrides System hat mehr und mehr an Bedeutung gewonnen und ist das wichtigste hybride System der Gruppe 3 in Bild . Der Unterschied zum Aufbau einer reinen analogen und digitalen Regelung liegt in der Kommunikation mit dem Regelsystem. Denn die digitale Welt des PID-Regel-Algorithmus kann mit dem analogen stetigen System nur über Wandler kommunizieren. Dabei wirkt der Wandler als Übersetzer zwischen der digitalen Welt (Bild , Gruppe 2) und dem analogen, stetigen System (Bild , Gruppe 1), da die digitale Stellgröße yi von dem System, das nur analoge und stetige Signale verarbeiten kann, nicht verstanden wird. Für diese Verbindung braucht die digitale Regelung einen Digital-Analog-Wandler als Übersetzer. Die analoge und stetige Regelgröße x wird über einen Analog-Digital-Wandler in die digitale Regelgröße xi umgewandelt (Bild ). Aufbau und Grundlagen der digitalen Regelung Der Aufbau der digitalen Regelung mit Computer ist in Bild a dargestellt. Die gesamte Regelung besteht aus dem System des Motorantriebs mit Generator, dem Rechner, auf dem der digitale PID-Regel-Algorithmus Ri abgebildet ist, und dem A/D-D/A-Wandler, der als Übersetzer zwischen dem analogen System und der digitalen Welt des Rechners vermittelt. Der verwendete A/D-D/A-Wandler sollte möglichst eine digitale Auflösung von 12 bis 16 bit haben. Eine viel höhere Auflösung bringt keinen Zuwachs an Genauigkeit, verlängert aber die Wandlerzeit. Ferner hat der Wandler eine eigene Software, die Zwischenwerte abspeichern kann. Diese Software wird vor dem Hauptprogramm des PID-Regel-Algorithmus in den Arbeitsspeicher geladen. Damit ist die Verbindung über die Peripherie zwischen dem Rechner und dem Antriebssystem hergestellt. Zum Teil wird in den Fachbüchen in diesem Zusammenhang ein Halteglied angeführt, eine Methode aus den 60er Jahren, mit nicht verwertbaren Treppenkurven. Die Führungsgröße wi wird über die Tastatur des Rechners digital als Zahlenwert eingegeben. Sie bestimmt zusammen mit der digitalen Regelgröße xi, die aus dem A/D-Wandler (Bild b) als Zahlenwert übernommen wird, die Regeldifferenz xdi: Der A/D-Wandler setzt dabei die analoge Spannung in einen reinen Zahlenwert xi um, der nun als digitale Regelgröße xi im Digitalteil des Wandlers steht. Aus der eingelesenen digitalen Regelgröße xi folgt der erste Rechenschritt. Der Zahlenwert für die digitale Regeldifferenz xdi lautet Praktische Grundlagen von Regelsystemen Synthetische und hybride Systeme mit Aufbau einer digitalen Regelung E. Dittmar, Gummersbach Der Beitrag gibt einen Gesamtüberblick über die Gruppen der technischen Regelsysteme und die Methoden der Optimierung. Beschrieben werden die natürlichen, technischen sowie die synthetischen und hybriden Systeme. Bei den digitalen Regelungen zeigt sich, dass der Verlauf der Regelgröße über den gesamten Bereich stetig und gleichmäßig stetig differenzierbar ist. Somit sind die linearen Optimierungs-Verfahren auf den PID-Regel-Algorithmus übertragbar, was den mathematischen Aufwand erheblich reduziert. Autor Prof. Edgar Dittmar ist beamteter Professor für elektronische Steuerungstechnik, Regel- und Computer-Systeme der Universität Siegen. Tz Tab 0,1 Tmin (5) Die Zykluszeit Tz als untere Grenze wird bestimmt durch die Prozessorfrequenz f mit der Taktperiode Tp = 1/f und die Anzahl n der Rechentakte für die Berechnung des PID-Regel-Algorithmus nach Gleichung 2. Bestimmend ist aber auch die Frequenz des Bussystems fB mit der Taktperiode TB = 1/fB, das den Datentransfer zwischen dem System über den A/D-D/A-Wandler mit dem Computer übernimmt. Damit ist die Zykluszeit Tz eine Funktion von Tz = f(n·TP, TB) (6) Daraus folgt, dass mit steigender Frequenz des Rechners die Taktperiode TP abnimmt. Die Zykluszeit Tz fällt und die Abtastzeit Tab kann weiter gesenkt werden. Folge: Die Abtastpunkte auf der analogen Kurve liegen dichter beieinander und der Abtastfehler wird kleiner. Damit nähert sich die digitale Regelung immer mehr der analogen an. Beispiel: Bei einem Rechner mit einer Prozessor-Taktfrequenz f = 66 MHz und einer Busfrequenz fB = 33 MHz betrug die Abtastzeit Tab = 2,5 ms. Mit dieser Abtastzeit arbeitete die digitale Regelung im Versuchsaufbau so genau, dass zwei Motorantriebe im Multitasking-Betrieb ruckfrei und glatt liefen. Wird ein Industrie-Rechner mit MMX-Prozessor (166 MHz) und einer Busfrequenz fB = 66 MHz eingesetzt, kann die Abtastzeit auf Tab = 1,25 ms herabgesetzt werden, weil der Datentransfer über den Systembus zu den Wandlern doppelt so schnell verläuft. xdi = w - xi (1) Die Regeldifferenzen xdi und xd[i-1] stehen als reine Zahlenwerte im Arbeitsspeicher des Rechners. Die Regeldifferenz xdi ist die Hauptrechengröße und wird im digitalen PID-Regel-Algorithmus weiter verarbeitet. (2) Gleichung 2 zeigt die Berechnung des Integralanteils als der Summe aller Teilrechtecke. Die Rechteckregel ist für schnelle Antriebsregelungen besonders geeignet, da sie bei der numerischen Integration für die Berechnung der Stellgröße yi nur den einen Wert von xdi benötigt - im Gegensatz zur Trapezregel, die mit zwei Werten von xdi für die Integration mehr Rechenzeit benötigt. Die Abtastzeit Tab muss bei der Rechteckregel hinreichend klein sein. Sie sollte bei Tab = 5 ms oder darunter liegen. Für diese Werte von Tab zeigt sich, dass der Näherungsfehler gegen Null geht und der Motorantrieb ruckfrei und gleichmäßig läuft. Der PID-Regel-Algorithmus berechnet die digitale Stellgröße yi, die als Zahlenwert im Digitalteil des D/A-Wandlers steht, und dann auf der analogen Seite in die analoge Stelgröße umgesetzt wird (Bild b): y = Ur = ± 10 V (3) Die analoge Stellgröße y setzt in der Regelung den Signalfluss mit niedrigem Energieniveau in einen geregelten Energiefluss vom Drehstromnetz über den Wechselrichter im Motor in mechanische Energie um, die den Generator antreibt. Vom Wechselrichter bis zum Motor wird der Signalfluss vom Energiefluss mitgeführt. Der Tachodynamo am Motor filtert den Signalfluss aus dem Energiefluss als analoge Regelgröße x und übergibt diese an den A/D-Wandler. Er setzt sie in die digitale Regelgröße xi um, die zusammen mit der Führungsgröße w nach Gleichung 1 die digitale Regeldifferenz xdi bildet. Damit ist ein digitaler Regelzyklus Tz einmal durchlaufen und beginnt nach Ablauf der Abtastzeit Tab<Tz neu. Dieser Regelzyklus lässt sich am Signalfluss im Bild b am besten verfolgen. Die Zykluszeit Tz ist die Zeit, die benötigt wird, um den PID-Regel-Algorithmus Ri zu durchlaufen. Der digitale Rechner kann nur seriell arbeiten und muss nacheinander den P-, I-, und D-Anteil abarbeiten und addieren. Dann kann ein neuer Regelzyklus beginnen. Daraus folgt, dass die Abtastzeit Tab nie kleiner als die Zykluszeit Tz sein kann: Tz Tab (4) Damit sind die Grenzen für die Abtastzeit Tab, die die Genauigkeit der digitalen Regelung beeinflusst, festgelegt: y x x x x i P di i=0 di d i-1 = + = - [ ] ( ) Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 2 135 Regelungstechnik FÜR DIE PRAXIS Ablaufdiagramm zu den Gruppen technischer Systeme Bereits in [2] wurde kurz auf die Eigenschaften der digitalen Regelung eingegangen und ausgeführt, dass die Regelung aufgrund der kleinen Abtastzeit Tab = 2,5 ms bezogen auf die Hauptzeitkonstante TH = Tmax = 0,8 s quasi analog arbeitet. Daraus folgt, dass für die Optimierung der PID-Regel-Algorithmus als virtueller Regler Rvirt in der analogen PID-Regler-Schaltungsart dargestellt werden kann. Damit lässt sich die digitale Regelung parallel zur analogen Standard-Regelung ohne den hohen mathematischen Aufwand der z-Transformation behandeln. Bei schnellen digitalen Antriebsregelungen ist die kleinste Zeitkonstante Tmin nach Gleichung 5 für die Präzision entscheidend. Aber auch die größte Zeitkonstante Tmax des Systems hat ihren Einfluss in der Form, dass sich die Abtastzeit Tab entsprechend größer wählen lässt. In der Praxis hat sich dies schon bei der Antriebsregelung nach Bild a gezeigt. Das gesamte Systemverhalten wird fast allein von der mechanischen Zeitkonstante Ts = Tmax bestimmt. Um auch die Hauptzeitkonstante Tmax bei der Beurteilung der Präzision mit zu berücksichtigen, wird zeitliche die Abweichung ft aus der Abtastzeit Tab definiert zu (7) Für die Antriebsregelung des Motor-Generatorsatzes folgt (8) Bei einer Abtastzeit Tab = 1,25 ms reduziert sich der „Echtzeit“-Fehler auf (9) Dieser Fehler pflanzt sich nicht fort, sondern wird bei jedem neuen Abtasten Tab der Stammfunktion x = f(t) der analogen Regelgröße x auf null gesetzt, und der Regelzyklus beginnt neu. Mit diesen Berechnungen zur Abtastzeit Tab sind die Einführungen zur Hardware mit dem Aufbau im Bild a und der Wirkungsweise mit Signalflußdiagramm der digitalen Regelung Bild b abgeschlossen. Die Überlegungen zu den Grundlagen der digitalen Regelung werden in einem Folgebeitrag noch um die Ableitung des PID-Regel-Algorithmus erweitert. Diese Ableitung ist das Kernstück der digitalen Regelung und basiert auf der numerischen Mathematik mit der Ableitung der Integration nach der Rechteck- und Trapezregel und das Zurückführen des Differenzialquotienten auf den Differenzenquotienten. Dabei wird die Gleichung des PID-Reglers durch die Digitalisierung in den PID-Regel-Algorithmus überführt, da der Digitalrechner nicht direkt integrieren und differenzieren, sondern nur Zahlen addieren und subtrahieren kann. Prinzip der digitalen Zweipunkt-Regelung Die Zweipunkt-Temperatur-Regelung ist die wichtigste nichtlineare und nichtstetige Regelung. Sie kommt in der Praxis häufig vor, sowohl bei Haushaltsgeräten als auch in Industrieanlagen. Der Zweipunkt-Regler lässt sich auch auf dem Computer simulieren: Mit der „logischen 0“ entsprechend der Reglerfunktion AUS und der „logischen 1“ als EIN. Dies wird durch folgende logischen Entscheidungen entsprechend der Regeldifferenz xdi realisiert: xdi = w - xi (10) Dann ist IF xdi<0 THEN yi = yi, max y = ymax = Qmax IF xdi 0 THEN yi = 0 y = Q = 0 Darin ist Qmax die volle Heizleistung. Das obige Gleichungspaar ist der Kern des Algorithmus für die Zweipunkt-Regelung. Dafür wird ein A/D-Eingang für die analoge Regelungsgröße x und für die digitale Stellgröße yi ein D/A-Ausgang benötigt. Das stetige System drückt dem Regelkreis mit digitalem Zweipunkt-Regler sein stetiges Verhalten auf. Der optimale Verlauf der Zweipunkt-Regelung x = f(t) ist im gesamten gemessenen Bereich stetig und gleichmäßig stetig differenzierbar [3]. Literatur [1] Dittmar, E.: Systeme 1. Ordnung mit der Systemanalyse eines Elektroantriebes. Elektropraktiker Berlin, 56(2002) 4, S. 286-289. [2] Dittmar, E.: Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit der Systeme. Elektropraktiker Berlin, 57(2003)1, S. 34- 38. [3] Dittmar, E.: Grundlagen und Optimierung von Regelsystemen. Bamberg: Druckerei K. Urlaub 1990. 100 1 25 10 0 8 0 158 , % 100 2 5 10 0 8 0 3125 , % max = [ ] 100 % Aufbau der digitalen Computer-Regelung a) digitale Computer-Regelung eines Motor-Generatorsatzes b) Signalflussdiagramm der digitalen Regelung Legende: xdi = Regeldifferenz Die Systeme mit T1, T2 und T3 bilden den Regelkreis mit dem optimalen Verlauf: x = f(t) Abtastzeit: Tab = (ti - t[i-1]) mit ti = i · Tab (diskretisierter Zeitwert von t) Tab, max = 0,1·Tmin = 8 ms in den Grenzen Tz Tab 0,1 Tmin mit TP = 1/f Ri = PID-Algorithmus y x x x x i P di i=0 di d i-1 = + = - [ ] ( ) Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 2 136 FÜR DIE PRAXIS Regelungstechnik
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Autor
- E. Dittmar
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