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Praktische Grundlagen von Regelsystemen: Stetigkeit und Systemdynamik unter dem Einfluss des Regelgetriebes
ep7/2002, 5 Seiten
1 Einführung Für den Beweis der Stetigkeit und stetigen Differenzierbarkeit werden die Ergebnisse des anschaulichen Beispiels eines Elektroantriebs aus [1] mit einigen Änderungen übernommen. 2 System für Antriebsregelung mit Berechnung des Regelgetriebes Eine Änderung besteht darin, dass die Drehzahl nAM an der Arbeitsmaschine erfasst wird (Bild ). Damit ist der Messort MOm des Tachodynamos von der Motorwelle auf die Antriebswelle der Arbeitsmaschine MOAM verlegt worden (Bild ). Der Vorteil ist, dass die niedrige tatsächlich zu regelnde Drehzahl nAM = x als Regelgröße erfasst wird. Weil die Drehzahl an sehr vielen Arbeitsmaschinen niedriger, meistens viel niedriger, als die Motordrehzahl n = 1500...3000 [U/min] ist, ergibt sich beim selben Tachodynamo als Messwertgeber eine höhere Auflösung und damit Genauigkeit der gesamten Regelung. Es gilt der Grundsatz, dass nur so genau geregelt werden kann, wie die Regelgröße erfasst werden kann. Doch bei dem Verlegen des Messortes MO von der Motorwelle auf die Welle der Arbeitsmaschine muss das Massenträgheitsmoment m des Motors über das Getriebe hinweg auf die Seite der Arbeitsmaschine transformiert werden. Die einzelnen Massenträgheitsmomente i ändern sich dabei nicht. Aber der Einfluss der Getriebe ü1 auf die Dynamik und auch auf die System-Zeitkonstante Tm,AM ist erheblich und soll jetzt mathematisch untersucht werden. Dies wird leider in vielen Lehrbüchern der Regelungstechnik überhaupt nicht erwähnt. Statt dessen verdunkelt oft ein hoher mathematischer Aufwand mit Matrizenrechnung die technischen, physikalischen Zusammenhänge. Wie wichtig aber der Einfluss des Getriebes mit ü1 ist, wird nachfolgend bewiesen (siehe auch 2.1: Fallunterscheidung für MO) Der Übertragungsfaktor Km des Antriebs ist nach Bild : (1) Der Elektroantrieb ist dynamisch ein rein mechanisches System und die gesamte gespeicherte mechanische Energie ist nach Gleichung 6 [1]: (2) Diese setzt sich zusammen aus der im Läufer mit Getriebewelle und Ritzel auf der Antriebsseite gespeicherten mechanischen Energie Em mit dem Massenträgheitsmoment m des Motors und der in der Arbeitsmaschine gespeicherten Energie EAM mit dem Massenträgheitsmoment und dem Getrieberitzel AM und dem Tachodynamo T>0: (3) E E E E k m AM T m m m AM AM AM T T AM mit = + + Ek A AM m e = = = Regelungstechnik Elektropraktiker, Berlin 56 (2002) 7 568 Praktische Grundlagen von Regelsystemen Stetigkeit und Systemdynamik unter dem Einfluss des Regelgetriebes Prof. E. Dittmar, Gummersbach Im letzten Beitrag [1] wurde der Systembegriff definiert und sein Einfluss auf den Elektroantrieb, dem wichtigen Element der Regelsysteme und der Automatisierungstechnik, untersucht. Dabei führte der System-Energie-Ansatz ohne Umwege über einzelne Teilgleichungen direkt zur Differentialgleichung des Gesamtsystems. Im Mittelpunkt dieses Beitrags steht der Einfluss von Messort und Getriebe auf die Regeldynamik. Prof. Edgar Dittmar ist beamteter Professor für elektronische Steuerungstechnik, Regel- und Computersysteme der Universität Siegen. Autor Motorantrieb mit Tachodynamo an der Arbeitsmaschine Frequenzumformersatz Legende: 1 Tachodynamo am Kopf der Motorwelle 2 Synchronmotor mit Permanentmagnetläufer 3 Direkte Kupplung ü=1 4 Generator frequenzgeregelt 5 Wechselrichter Die Komponenten in Gleichung 3 eingesetzt, mit 2 multiplizert und 2 AM ausgeklammert, ergibt: (4) Der Tachodynamo sitzt auf der Antriebswelle der Arbeitsmaschine und ist somit der Messort MOAM der Regelgröße x. Damit muss das gesamte Massenträgheitsmoment auf die Getriebeseite der Arbeitsmaschine transformiert werden. Die Drehzahlübersetzung gilt auch für die Winkelgeschwindigkeit: (5) (siehe Gleichung 6 [1]) und meistens ü1. Die Winkelgeschwindigkeit des Motors wird in Gleichung 4 eingesetzt: (6) Das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit AM kürzt sich heraus. Das ergibt das Massenträgheitsmoment A auf der Antriebsseite des Getriebes zu (7) Daraus folgt zusammen mit der mechanischen Konstante des Motors kmech (siehe Gleichung 1 [1]) die Zeitkonstante des Antriebs: (8) In der Motorenkonstante kmech sind alle festen Werte wie Polpaarzahl, Anzahl der Leiter der Ständerwicklung und auch der Widerstand Rm enthalten. Diese ist unabhängig vom Messort MO und der Transformation des Massenträgheitmoments des Motors m. Das Massenträgheitsmoment des Motors m wird mit dem Quadrat der Getriebeübersetzung ü auf die Seite der Antriebswelle der Arbeitsmaschine AM transformiert. Der Tachodynamo sitzt direkt auf der Welle der Arbeitsmaschine. Dies ist auch der Messort MOAM für die Regelgröße. Ein Beispiel dafür sind die Walzen einer Walzstraße. Der 2. Fall tritt ein, wenn der Tachodynamo direkt am Kopf der Motorwelle sitzt. Dann werden die Massenträgheitsmomente AM und T an den Messort an der Motorwelle transformiert: (9) Daraus folgt die System-Zeitkonstante Tm: (10) Wird der Messort auf den Kopf der Motorwelle gelegt (Bild ), dann transformieren sich das meist große Massenträgheitsmoment der Arbeitsmaschine AM und auch das kleine Massenträgheitsmoment T mit dem reziproken Quadrat der Getriebeübersetzung auf die Motorseite. Diese Lösung ist in der Praxis oft zu finden. Der Tachodynamo ist gegenüber dem digitalen Drehzahlgeber noch weit verbreitet und hat für schnelle hybride Kaskadenregelungen wichtige Vorteile auch bei modernen Drehstrom-Synchronmotoren mit einem Permanentmagneten als Läufer. 2.1 Fallunterscheidung bezogen auf Getriebe und Messort Es werden nun die Fälle über den Messort MO zusammengestellt, der angibt, ob der Tachodynamo auf der Kopfseite der Motorwelle MOm sitzt oder auf der Welle der Arbeitsmaschine MOAM hinter dem Getriebe: Messort MOAM. Der Tachodynamo ist an der Arbeitsmaschine angebracht (Bild ), was meistens bei schweren Arbeitsmaschine angewandt wird, z. B. bei der Untersetzung in Walzwerken. Hier muss das Getriebe ü>1 die Drehzahl des Motors untersetzen, weil die erste Walze, in die die glühende Bramme einläuft, nicht mit 1500 U/min drehen kann. Die nachfolgenden Walzgerüste brauchen ebenfalls ein Regelgetriebe, um die Drehzahl der nachfolgend schneller werdenden Walzen anzupassen, damit die Motorantriebe im Nenn-Arbeitspunkt arbeiten. Dann arbeitet der Motorantrieb mit seinem besten Wirkungsgrad. Bei dieser Wahl des Messortes wird das Massenträgheitsmoment des Motors m mit dem Quadrat der Getriebeübersetzung ü1 auf den Messort transformiert: (7) Die System-Zeitkonstante auf der Seite der Arbeitsmaschine ist (8) Messort MOm. Der Tachodynamo ist am Motor angebracht (Bild a in [1]), meistens auf der Stirnseite der Motorwelle. Das Massenträgheitsmoment AM wird auf die Motorseite des Getriebes transformiert: (9) Die System-Zeitkonstante auf der Motorseite ist (10) Die Arbeitsmaschine läuft frei. Daraus folgt, dass ein mögliches Getriebespiel, auch fälschlich Totzeit genannt, von der Regelung nicht erfasst werden kann. Grundsätzlich müssen daher an die Getriebe in der Antriebsregelung hohe Ansprüche an die Präzision bei der Fertigung gestellt werden. ü=1. Die zwei Drehzahlen sind gleich n=nAM, der Messort kann am Motor oder der Arbeitsmaschine sein. Meistens wird die Stirnseite der Motorwelle gewählt, weil sie besser zugänglich ist. Das Massenträgheitsmoment ist (11) In diesem speziellen Fall addieren sich einfach die Massenträgheitsmomente, die Zeitkonstanten werden gleich: (12) Dieser Spezialfall beinhaltet auch, dass schnell laufende Arbeitsmaschinen kein Getriebe benötigen. Bild zeigt einen Frequenzumformersatz, der durch einen modernen Synchronmotor mit Permanentmagnet-Läufer angetrieben wird. Der Drehstrom-Synchronmotor arbeitet schlupffrei, wodurch sich mit Hilfe der Drehzahlregelungen eine hohe Frequenzkonstanz des Generators ergibt. Das Ergebnis dieser Betrachtungen ist, dass der Messort MO ähnlich wie der Störgrößen-Angriffspunkt wichtig für die Dynamik des Regelkreises ist. Der Messort der Regelgröße x muss dort liegen, wo die Zeitkonstante T des Antriebs gemessen wurde. Er darf nicht beliebig verlegt werden, wie die folgende Berechnung zeigt. Der Messort MO der Regelgröße x wird von der Motorwelle (Bild a in [1]) auf die Welle der Arbeitsmaschine verlegt. Es wird Gleichung 8 durch Gleichung 10 geteilt: (13) (13a) Weil die Tranformation von der Motorwelle auf die Seite der Welle der Arbeitsmaschine am selben Motor vorgenommen wird, kürzt sich die Motorkonstante kmech heraus: (14) Die Transformation der System-Zeitkon-T ü T m,AM ü ü m,AM AM T AM T + + + + ( ) ( ): k ü k ü ü m,AM mech m AM T mech m AM T + + + + ( ) ( ): T T m m,AM AM m T AM = = + + ( ) T k m mech m 2 AM T = + + ( ( )) m 2 AM T = + + ( ) T k ü m,AM mech m AM T = + + ( ) A m AM T = + + T k m mech m 2 AM T = + + ( ( )) m 2 AM T = + + ( ) T k ü m,AM mech m AM T = + + ( ) A m AM T = + + A AM AM T AM + + ( ) m AM ü mit n = n n A AM m m AM T AM = + + ( ) Regelungstechnik Elektropraktiker, Berlin 56 (2002) 7 570 stanten mit dem Quadrat der Getriebeübersetzung verblüfft zunächst, ist aber das Ergebnis der konsequenten Anwendung des Energie-Satzes. Es gilt der altbekannte Satz der Mechanik: Was an Kraft gewonnen wird, geht am Weg und damit an Zeit verloren. Für die Rotationsbewegung folgt daraus: Wenn durch die Untersetzung ü>1 das Moment MAM der Arbeitsmaschine größer wird als das Motormoment, wird die Drehzahl geringer und die Zeitkonstante TAM und damit der Zeitverlust größer (15) Die Massenträgheitsmomente i und die mechanische Motorenkonstante bleiben bei dem selben Motor absolut konstant. Das Getriebe ü1 mit der Wahl des Messortes transformiert die Zeitkonstante Tm,AM des Systems. Nur bei einem Getriebe ü=1 wird beim Antrieb nach Bild : Tm,AM=Tm. Beispiel: Die Zeitkonstante sei Tm = 0,4 s auf der Motorseite MOm gemessen und die Getriebeübersetzung ü=2. Verlegt man den Messort MO von der Motorseite MOm auf die der Arbeitsmaschine MOAM, ohne den Regler R anzupassen, würde die Antriebsregelung nicht mehr optimal laufen. Aus der Gleichung 14 ergibt sich die transformierte Zeitkonstante Tm,AM zu (14a) Der Regler hat jetzt dynamisch ein ganz anderes System vor sich und arbeitet nicht mehr optimal, aber möglicherweise noch stabil. 3 Zeitvariante Antriebssysteme mit Einfluss des Messortes Es sei noch kurz erwähnt, dass es bei den stetigen Systemen auch solche gibt, die auch durch lineare Differentialgleichungen beschrieben werden, aber zeitvariante Systemkonstanten haben [5]: (16) Die wichtigsten Systeme dieser Art findet man in der Antriebsregelung bei Fertigungsstraßen wie beim Walzwerk und beim Herstellen von Folien und Feindraht für die Mikroelektronik. Bei Walzwerken und den verwandten Verfahren nimmt die Geschwindigkeit des Walzgutes mit dem dünner werdenden Material proportional nicht exakt zu, weil das Material auch in die Breite geht. Bei einem Karosserie-Blech-Walzwerk, bei dem die Bramme, ein rotglühender Quader mit einer Dicke von mindestens 25 cm, in das 1. Walzengerüst einläuft, steigert sich die Bandgeschwindigkeit auf über 10 m/s in der letzten Walzenstation, wo das Karosserieblech nur noch 0,8 mm dünn ist. Danach wird es in der letzten Station zu einer Blechrolle, dem Coil, aufgewickelt. Diese Coil-Station ist auch Drehzahl geregelt, aber ein System, bei dem die Zeitkonstante TC mit dem größer werdenden Coil-Radius rc mit der Zeit t zunimmt. Nach den Gesetzen der Mechanik ändert sich die Zeitkonstante: (17) Die Systemkonstante der Coil-Station TC ändert sich mit der 4. Potenz der Zeit t bei einer Band-Geschwindigkeit von bis zu 15 T f(r( ) Coil = t ) mit K = f( und T = f( a a e x x x + = T ü T s = 1,6s m,AM = = 2 0 4 M M T T m AM m,AM m Regelungstechnik m/s und die Umfangsgeschwindigkeit linear mit dem Radius. Die optimalen Regelkonstanten müssen mit der gleichen Rasanz adaptiert werden. Für diese adaptive Regelung ist die digitale Regelung der Standard-Regelung weit überlegen [3]. Bei der Herstellung von Folie, die leicht zerreißen kann, ist die Zusatzaufgabe, die Zugkraft konstant und unter der Zerreißgrenze zu halten. Bei der Fertigung von Karosserieblech kommt noch dazu, dass das Blech über die ganze Breite unbedingt plan sein muss. Welche Faktoren zu berücksichtigen sind, zeigt das nachfolgende Beispiel, bei dem wegen der Komplexität nur das Grundprinzip angedeutet werden kann: Am letzten Walzengerüst ist der Stellantrieb zur Regelung der Planheit angebracht. Der Messort MO zur Erfassung der Regelgröße x, der Planheit, liegt zwischen dem letzten Walzengerüst und der zuvor beschriebenen Coil-Station, die Zeitvarianz in das gesamte Regelsystem bringt. Es wird die Regelgröße x dreidimensional gemessen, ein sehr kompliziertes und zeitaufwendiges Verfahren, das allein schon eine Messzeit von tMessung=0,25 s braucht. Der Messort MO der Regelgröße liegt über 5 m vom Stellort, dem letzten Walzengerüst, entfernt. Das ergibt eine zusätzliche Abhängigkeit des Systems vom Weg s, den das Stahlblech zwischen dem letzten Walzengerüst, dem Stellort MY, zur Mess-Station, dem Messort MO, der in einem extra Gebäude liegt, zurücklegen muss. Dadurch ergibt sich eine Transportzeit TT 2 s bei einer Bandgeschwindigkeit von vmax=10 m/s. Es kann immer nur alle 2 s ein Messwert ermittelt werden. Aber das Gesamtsystem vom ersten Walzengerüst bis zu der letzten Coil-Station verhält sich gleichmäßig und stetig. Es gibt daher keine Totzeit Tt. Eine echte Totzeit Tt, und das auch nur in der Anlaufphase, gibt es nur beim Förderband für Schüttgüter oder Stückgut über den ganzen Zeitbereich. Diese Transportzeit TT wird oft mit der Totzeit Tt verwechselt. In der Praxis gibt es fast gar keine Totzeiten. Die Transportzeit wird für die unterlagerte Planheitsregelung als größte Zeitkonstante System bestimmend: (18) Da bei der digitalen Regelung die Abtastzeit (19) sein muss, was später noch erklärt wird, berechnet sich die Abtastzeit zu (20) Es müsste mindestens alle 0,2 s abgetastet werden, d. h. ein Messwert ermittelt werden können, aber in Wirklichkeit steht nur alle 2 s ein Messwert zur Verfügung. Die digitale Regelung fällt außer Tritt. Hinzu kommt, dass die 3-dimensionale Messung schon 0,25 s braucht. Es folgt daraus die wichtige Erkenntnis, dass das System oder die gesamte Anlage a priori gut regelbar geplant und gebaut wird. Eine Tatsache, die an und für sich klar ist, aber gegen die immer wieder verstoßen wird. Ein klassisches Beispiel dafür sind zu kleine Zuleitungsrohre in hydraulischen Antrieben auf der Seite der Stellgröße y (Bild in [1]). Es gibt aber eine hybride Lösung, die Planheit über ein Idealmodell zu steuern und zu regeln , das dem System das Verhalten einprägt. 4 Fazit Der System-Energie-Ansatz führte im letzten Beitrag [1] direkt zu den Differentialgleichungen des Motorantriebs. Auch in diesem Beitrag wurde der Ansatz mit der System-Energie nach Gleichung 3 zur Berechnung des Regelgetriebe und der Transformation des Messortes MO gemacht. Daraus folgen die Ergebnisse in den Gleichungen 8, 10 und 14. Die Bedeutung des Messorts der Regelgröße x, der in diesem Beitrag mit im Zentrum steht, ist in den Lehrbüchern ebenso selten zu finden wie die Berechnung der Regelgetriebe. Die obigen ausführlichen Untersuchungen über das Massenträgheitsmoment , die Hauptsystemgröße, bilden eine Grundlage für den noch folgenden Beweis für die Stetigkeit und die stetige Differenzierbarkeit. Gezeigt wird, dass alle technische Systeme, die einen Energieinhalt und damit eine System-Zeitkonstante T haben, analog sind, stetig, stetig differenzierbar sowie linear oder linearisierbar im Arbeitspunkt. Die Energie lässt keine Sprünge zu. Literatur [1] Dittmar, E.: Systeme 1. Ordnung mit der Systemanalyse eines Elektroantriebes. Elektropraktiker, Berlin 56 (2002) 4. S. 286-289 [2] Dittmar, E.: Grundlagen und Optimierung von Regelsystemen. Bamberg: Druckerei K. Urlaub [3] Dittmar, E.: Adaptive digitale Regelung. Patentschrift Nr.: 27 28 163.6 T T s ab T = = 0 1 0 2 , , T T ab min 0 1 0 25 2 , s s Regelungstechnik Elektropraktiker, Berlin 56 (2002) 7 572
Autor
- E. Dittmar
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