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Praktische Grundlagen von Regelsystemen - Mathematische Grundlagen und Optimierung digitaler Regelungen
ep7/2004, 4 Seiten
Entwicklung und Prinzip der digitalen Regelung Mit den Prozessrechnern hat die gesamte Entwicklung für die digitale Regelung ihren Anfang genommen und wurde unter dem Begriff DDC (Direct Digital Control) bekannt. Die Einführung des PCs und die damit verbundene enorme Kostensenkung machte die digitale Computer-Regelung erst richtig effektiv. Digitale PC-Regelungen vor Ort ersetzten die großen zentralen Prozessor-Rechner. Ferner verdrängten in der industriellen Praxis, speziell in der Verfahrenstechnik wie in der Chemie, die digitalen Standard-Regler den konventionellen PID-Regler. Dazu sind beim digitalen Standard-Regler viele Software-Funktionen für den universellen Einsatz hardwaremäßig realisiert. Die Standardisierung ermöglicht die Fertigung großer Stückzahlen bei niedrigen Kosten. Der Aufbau des digitalen Standard-Reglers ist kompakt. Für die Sicherheit in der Chemie wird dieser in einem gekapselten Gehäuse untergebracht, in dem die Analog/Digital- und Digital/Analog-Wandler mit eingebaut sind. Der PID-Regel-Algorithmus, wie dieser als virtueller PID-Regler im Bild b in grün dargestellt ist, befindet sich auf einem Eprom. Es kommen noch die Einstellschieber für die Führungsgröße w, die Reglerkonstanten und mehrere analoge Eingänge hinzu, die beispielsweise für Kaskadenregelungen benötigt werden. Die Visualisierung übernimmt ein seperater Rechner. Der Vorteil der digitalen Computer-Regelungen liegt in der Flexibilität bei komplexen zu regelnden Systemen im Echzeitbetrieb mit Multitasking, Selbstoptimierung mit adaptiver Regelung und Visualisierung mit Visual C++. Ferner kann die Regelung flexibel und leicht an neue Erfordernisse und örtlich Gegebenheiten angepasst werden. Das Prinzip (Bild b) ist für den digitalen Standard-Regler und die digitale Computer-Regelungen das gleiche. Das zu regelnde System ist immer stetig und analog und liefert immer eine analoge Ausgangsgröße x, die im digitalen Rechenwerk des Standardreglers oder des Computers nur als Zahlenwert weiter verarbeitet werden kann. Dazu braucht man stets den Analog/Digital-Wandler mit dem Ausgang xi, der im PID-Regel-Algorithmus über die abgeleitete Rechengröße der Regeldifferenz xdi in die digitale Stellgröße yi umgesetzt wird. Das analoge System kann diese digitale Größe nicht direkt erkennen, sondern benötigt als Übersetzer den Digital/Analog-Wandler. Der digitale Regelalgorithmus läuft zwischen A/D- und D/A-Wandler in einer virtuellen DOS-Maschine (VDM) ab. Sie arbeitet unter Windows im abgeschlossenen, geschützten Bereich des Arbeitsspeichers. Mit einer zweiten virtuellen DOS-Maschine kann bereits mit einem 66-MHz-Computer und unter Windows für Workgroups 3.11 preemtives Multitasking im Echtzeitbetrieb mit gutem Erfolg realisiert werden. Beim preemtiven Multitasking liegt die Kontrolle der Systemressourcen beim Betriebssystem und nicht bei den Applikationsprogrammen selbst. Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 7 574 FÜR DIE PRAXIS Regelungstechnik Praktische Grundlagen von Regelsystemen Mathematische Grundlagen und Optimierung digitaler Regelungen E. Dittmar, Gummersbach Die Herleitung des digitalen PID-Regel-Algorithmus, der das Kernstück jeder digitalen Regelung ist, lässt sich in der Praxis auf die Algebra und die Grundlagen der numerischen Mathematik zurückführen. Dies liegt in der Natur der Digitaltechnik, in der nur addiert und subtrahiert werden kann. Autor Prof. Edgar Dittmar ist beamteter Professor für elektronische Steuerungstechnik, Regel- und Computersysteme der Universität Siegen. Signalflussdiagramme der analogen und digitalen Regelung mit Digitalisierung Grundlagen mit dem Ansatz zur Optimierung Grundkenntnisse der analogen Standard-Regelung sind die Voraussetzung für das Verständnis der digitalen Regelungen. Daher wird bei der Ableitung des PID-Regel-Algorithmus von dem analogen Regler ausgegangen (Bild a). Nach [1] kann die Optimierung für die analoge Standard-Regelung direkt auf die digitale Regelung angewandt werden. Alle empirischen und mathematischen Verfahren der analogen Standard-Regelung sind direkt für die Optimierung der digitalen Regelungen anwendbar. In der industriellen Praxis interessiert nicht primär die Stabilität eines Systems, sondern die optimale Lösung. Die Stabilität ist die notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Optimierung. Die vielen Stabilitätskriterien in der Fachliteratur, wie Lage der Polstellen, haben in der Praxis kaum Gewicht. Es sei noch erwähnt, dass es bei linearen und stetigen Systemen keine Polstellen in der positiven Halbebene gibt. Das wichtigste und in der Praxis auch effektivste Stabilitätsverfahren ist das Frequenzkennlinien-Verfahren nach Bode, einem amerikanischen Ingenieur des Flugzeugbaus. Dieses Verfahren basiert auf Betrachtungen im Frequenzbereich, wie auch das Verfahren der Betragsoptimierung. Darüber hinaus ist die Anwendung der praktischen Laplace-Transformation in Form der Operatoren-Rechnung erforderlich [1], wie diese von Timochenko and Young schon in den 50er Jahren auch in der technischen Mechanik für Schwingungen angewandt wurde: (1) mit dem Laplace-Operator s = + j und = 0 für die technische Praxis. Dieser Operator mit dem Realanteil beschreibt eine gedämpfte Schwingung. In der technischen Praxis, der Mechanik, bei elektrischen Systemen und Regelsystemen wird jedoch mit = 0, mit ungedämpften Schwingungen, gerechnet. In der industriellen Praxis gibt es für die Optimierung zwei Hauptgebiete: in der (regelungstechnisch langsamen) Prozesstechnik das empirische Verfahren nach Ziegler-Nichols sowie das Verfahren der Betragsoptimierung für schnelle Antriebsregelungen in der Automatisierungstechnik oder für Kaskadenregelungen beispielsweise im Flugzeugbau. Bei mittelschnellen Anlagen, z. B. Niveau- und Durchflussregelungen in der Verfahrenstechnik, mit mittelgroßen Zeitkonstanten (T50 s) wird ebenfalls das empirische Optimierungs-Verfahren nach Ziegler-Nichols angewandt. Es hat sich seit über 30 Jahren in der chemischen Industrie sehr bewährt und ist eines der wenigen, das nur im Zeitbereich arbeitet, während die anderen Verfahren auf der komplexen Übertragungsfunktion im Frequenzbereich aufbauen. Ausgangspunkt ist die parallele Struktur des analogen PID-Reglers mit Mehrkanal-Struktur nach Bild a und DIN 19226. Es zeigt das Signalflussdiagramm im Zeitbereich und stellt den nachfolgenden analogen PID-Regler dar: (2) In der Gleichung sind die Reglerkonstanten wie folgt definiert: 1. Die dimensionslose Reglerverstärkung: (3a) Umrechnung vom 1-Kanal-Kompakt- auf den Mehrkanal-Regler nach [4]. 2. Nachstellzeit als Integralanteil: (3b) 3. Vorhaltezeit als Differenzialanteil: TD = KPTv (3c) Das Signalflussdiagramm nach Bild a ist die gezeichnete mathematische Struktur des Reglers nach Gleichung 2. Darin wird die Regeldifferenz xd auf die drei parallelen Kanäle verteilt. Der Verzweigungspunkt ist der Punkt gleichen Potentials. Am Ende der parallelen Zweige mit der Summationsstelle, die als offener Kreis dargestellt ist, summieren sich die Signale zu y* = (yP + yI + yD) (4) Aus Bild a folgt weiter, dass die Stellgröße y gleich ist der Eingangsgröße y* gewandelt mit der Reglerverstärkung KP als Systeminhalt: y = KP y* (5a) Die weitere Berechnung ist im Bild angegeben. Das Ergebnis ist natürlich die Reglergleichung selbst. Es wird bei der Optimierung nach Ziegler-Nichols von der Gleichung des analogen Reglers ausgegangen. Dabei wird zunächst der D-Anteil mit Tv = 0 abgeschaltet. Der Integralanteil wird zu null für Tn . Dann arbeitet der Regler nur noch als reiner Proportional-Regler: y = KP0 · xd (5b) Es wird nun ein großer Anfangsfehler von 20 % zugelassen. Das entspricht der Verstärkung im gesamten Regelkreis von V0 = KP KS = 5, oder bei einem Übertragungsfaktor KS = 1, was in der Praxis oft gegeben ist, einer Reglerverstärkung von KP0 = 5 (6) Der Regelkreis wird eingeschaltet. Dann wird die Reglerverstärkung so lange schrittweise (KP > KP0) erhöht, bis der Regelkreis die Stabilitätsgrenze mit Dauerschwingungen x = f(t) erreicht. Diese kritische Verstärkung und die Schwingungsperiode werden festgehalten: T K T n P I n I = = K und K P Pm = + y x x x = + + P d d v d ( ) = s Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 7 575 Regelungstechnik FÜR DIE PRAXIS KP = KP, krit und T = Tkrit (7) Daraus leiten Ziegler und Nichols die optimalen Reglerkonstanten ab: PI-Regler: KP = 0,5 KP, krit ; Tn = 0,44 Tkrit PID-Regler: KP = 0,6 KP, krit ; Tn = 0,5 Tkrit ; Tv = 0,13 Tkrit (8) Im Labor des Autors wurde eine Niveau-Regelung auf eine digitale Regelung mit digitalem Standard-PID-Regelung der Fa. Samson umgestellt. Das zu regelnde System blieb unverändert. Dazu wurde von dem analogen Regler nach Gleichung 10 und dem Signalflussdiagramm nach Bild a ausgegangen. Der analoge PID-Regler existiert als Hardware. Die nötigen mathematischen Funktionen wie Zeitintegral über der Regeldifferenz xd(t) werden durch Rechenverstärker mit Operationsverstärkern realisiert. Der analoge PID-Regler kann als spezieller Analogrechner das Zeitintegral über der Regeldifferenz xd(t) direkt berechnen und arbeitet dabei als Parallelrechner. PID-Regel-Algorithmus und virtuelle Struktur Der digitale Regler, in Bild b in grün dargestellt, ist ein virtueller Regler und existiert nicht in der Hardware. Er muss auf die angewandte Mathematik mit der numerischen Integration und Differenziation zurückgreifen und kann die virtuelle, parallele Struktur nur nacheinander in seinem PID-Regel-Algorithmus abarbeiten. Dabei bilden die A/D-D/A-Wandler den Hardware-Kern und die Digitalisierung den mathematischen Kern der gesamten Digitaltechnik - vom Handy über die digitale Computer-Regelung bis zum industriellen digitalen PID-Regler. Im Bild c wird deshalb so genau auf die Digitalisierung, auch mit Diskretisierung bezeichnet, eingegangen, weil diese oft in Fach-und Handbüchern unvollständig oder gar nicht dargestellt wird. Die Hauptgröße für die Digitalisierung ist die Abtastzeit Tab [1]. Wie Bild c zeigt, wird die analoge Zeitachse in i diskrete Abschnitte unterteilt. Daraus entsteht die digitalisierte Zeitachse: ti = i · Tab (9) In Wirklichkeit ist dies keine geschlossene Linie mehr, wie dies Bild c durch die unterbrochene Gerade richtig zeigt, sondern eine Folge äquidistanter Zeitpunkte, an der die Stammfunktion der Regelgröße x = f(t) abgetastet wird. Dieser digitale Wert der Regelgröße xi wird aus dem A/D-Wandler übernommen. Im ersten Rechenschritt wird die Regeldifferenz als Hauptrechengröße für den PID-Regel-Algorithmus ermittelt: xdi = w - xi (10) Im Bild c ist die Regeldifferenz xdi an der Stelle i=3 eingetragen. Es gibt keine geschlossene Funktion in xdi, sondern nur eine monoton fallende Zahlenfolge, die durch die rote, gestrichelte Linie symbolisiert wird. Mit der Regeldifferenz berechnet sich der reine P-Algorithmus yi zu yi = KP xdi (11) Der reine P-Algorithmus wird in der Praxis nur bei dem zuvor beschriebenen Verfahren nach Ziegler-Nichols (Gleichung 5 bis 7) angewandt. Beim I-Anteil des PID-Regel-Algorithmus lässt sich das Zeitintegral der Regeldifferenz xd(t) aus Gleichung 1 mit der numerischen Mathematik durch die Summe aller Teilflächen realisieren (Bild c). Es folgen durch die Digitalisierung der Stammfunktion x = f(t) reine Zahlenwerte xi mit fortlaufendem i. Daraus entstehen die digitale Regeldifferenz xdi als Zahlenfolge, deren Werte bei einer Abtastzeit Tab = 2,5 ms so dicht bei einander liegen, dass die unterbrochene Hüllkurve über xdi quasianaloges Verhalten zeigt. Die Darstellung der Regeldifferenz xdi in Bild c täuscht, weil die Abstände zwischen den Werten von xdi aus zeichentechnischen Gründen sehr stark gedehnt werden mussten. Es wird hier zunächst die Methode nach der Rechteckregel angewandt. Die Erfahrung lehrt, dass bereits bei einer Abtastzeit Tab 5 ms eine gute Approximation erreicht wird. Es errechnet sich die rechteckige Teilfläche an der i-ten Stelle mit der Höhe xdi und der Breite Tab zu Ai = xdi · Tab (12) Der Wert des Integrals ist die Summe aller Teilflächen Ai: (13) Damit lautet der ganze digitale PI-Regelalgorithmus: (14) Beim Differenzialanteil muss der Differenzialquotient in den Differenzenquotienten zurückgeführt werden: (15) Dieser gibt die Steigung der Kurve der Regeldifferenz xdi an der Stelle ti an. Dann lautet der Differenzialanteil D: (16) Damit lautet der ganze digitale PID-Regel-Algorithmus: (17) Aus der analogen Reglergleichung und der obigen digitalen Gleichung 17 ergibt der Koeffizientenvergleich, dass die optimalen Reglerkonstanten KP, Tn und Tv übereinstimmen und bei der Digitalisierung invariant sind. Dies geht auch aus dem Vergleich des analogen und digitalen Signalflussdiagramms in Bild a und b hervor. Die Abtastzeit Tab geht nicht in die Reglerkonstanten ein, sondern nur in die Genauigkeit der numerischen Integration und Differenziation, was zeigt, dass die linearen Optimierungsverfahren auf den PID-Regel-Algorithmus übertragbar sind. Der digitale PID-Regler kann virtuell wie der analoge PID-Regler behandelt werden. Der mathematische Aufwand der z-Transformation im Zusammenhang mit der digitalen Regelung ist nicht notwendig. Der entscheidende Vorteil dieses Optimierungsverfahrens ist somit, dass die Optimalwerte für den PID-Regel-Algorithmus aus den Angaben der Systemdaten bereits im Voraus berechnet werden können, bevor eine neue Anlage oder ein neuer Flugzeugtyp gebaut wird. Die Dreiecksfläche Ai,D gibt den numerischen Integrations-Flächenfehler an, der aber in der Praxis bei einer Abtastzeit Tab 5 ms gegen null geht. Damit lautet der ganze digitale PID-Regelalgorithmus nach der Rechteckregel: (18) Dieser PID-Regel-Algorithmus gilt grundsätzlich für alle Systeme. Für schnelle Antriebsregelungen mit einer Hauptzeitkonstanten Tmax = 0,8 < 1 lässt sich die Rechenzeit für den Algorithmus noch optimieren, indem man in die obige Gleichung mit KP die Klammer und die Reglerkonstanten nach Gleichung 4 einsetzt: (19) y x x x x i i i i i = + + - [ ] P(m) d d d y x x x x i i i i i = + ( )+ [ ] P d d d y x x x x i i i i i = + ( )+ [ ] P d d ab d d D T d d - - [ ] x x i i 1 dt T d d d x x x i i i = - [ ] y x x i i i = + ( ) P d x x i d ab d ( ) Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 7 576 FÜR DIE PRAXIS Regelungstechnik 3.1 PID-Regelalgorithmus nach der Trapezregel In der Gleichung 17 muss nur der numerische Integralanteil durch die Summe der Trapezflächen nach Bild c ersetzt werden: (20) Damit wird der Integralanteil: (21) Der komplette PID-Regelalgorithmus nach der Trapezregel lautet: (22) Der Algorithmus schaltet den Flächenfehler des Dreiecks in Bild c aus, benötigt aber zwei Werte von xdi, was die Rechenzeit etwas verlängert. Er ist daher für mittelschnelle verfahrenstechnische Systeme mit Zeitkonstanten T = 50...1000 s geeignet, da dann die Abtastzeit groß gewählt werden kann. Die Ableitung des PID-Regel-Algorithmus ist mathematish sehr einfach. Benötigt werden nur die Algebra und die Grundlagen der numerischen Mathematik. Dies liegt in der Natur der Digitaltechnik, in der nur addiert oder subtrahiert werden kann. Alle anderen Rechenoperationen sind auf die Grundrechnungsarten zurückgeführt. Zu beachten sind allerdings folgende Punkte: 1. Es muss der grundsätzliche Aufbau der digitalen Regelung mit den A/D-D/A-Wandlern gezeigt werden. Dazu gehört auch das Signalflussdiagramm als gezeichnete mathematische Struktur [2]. Ferner müssen alle analogen und digitalen Größen eingetragen sein. 2. Bei der Digitalisierung sollte zum grundlegenden Verständnis der PID-Regel-Algorithmus abgeleitet sein und die digitale Zeitachse ti = i Tab mit eingetragen werden. 3. Bei einer digitalen Regelung mit einem modernen A/D-D/A-Wandler gibt es kein Halteglied und keine Treppenkurven yi = f(t). Die digitale Regeldifferenz xdi ist nur eine Zahlenfolge, aber keine Kurve xdi = f(t). Sie wird aus dem Zahlenwert der Führungsgröße und der digitalen Regelgröße xi berechnet, die aus dem (optimalen) Verlauf der analogen Regelgröße x = f(t) als Stammfunktion eingelesen wird. Literatur [1] Dittmar, E.: Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit der Systeme. Elektropraktiker, Berlin 57(2003) 1, S. 34-38. [2] Dittmar, E.: Synthetische und hybride Systememit Aufbau einer digitalen Regelung. Elektropraktiker, Berlin 58(2004) 2, S. 134-136. [3] Dittmar, E.: Elektronisches Regelungsmodell mit Mehrkanal-Regler, Patentschrift Nr. 250834. [4] Proise. J.: Tutoral: Windows Multitasking. PC Magazine 13(1994)H.9. [5] Dittmar, E.: Grundlagen und Optimierung von Regelsystemen. Bamberg: Druckerei K. Urlaub 1990. y x x x x x i i i i i i = + + [ ] [ ] P d d d d d d d x x x i i = + [ ] A x x i i i = + [ ] d d 1 Elektropraktiker, Berlin 58 (2004) 7 577 Regelungstechnik FÜR DIE PRAXIS Ein Folgebeitrag beschreibt das Ablaufdiagramm mit der mathematischen Struktur des PID-Regel-Algorithmus sowie weitere praktische Optimierungsverfahren. Fortsetzung ELEKTRO PRAKTIKER
Autor
- E. Dittmar
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