Grundwissen
Komplexe Zahlen - Teil 5: Ruhende Zeiger und komplexer Widerstand
luk1/2005, 2 Seiten
Konstante Phasenverschiebung In Wechselstromkreisen kommt es zur Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Da beide Größen die gleiche Frequenz haben, rotieren ihre Zeiger mit gleicher Geschwindigkeit. Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung ändert sich nicht, wie in Bild zu erkennen ist. Das bedeutet, dass zur Beschreibung der Verhältnisse zwischen den Größen u und i der Zeitpunkt t1 oder t2 gleichgültig ist. Statt mit rotierenden Zeigern kann mit ruhenden Zeigern gerechnet werden. Zweckmäßigerweise wird ein Zeitpunkt t so gewählt, dass sich mathematisch einfache Verhältnisse ergeben. Im gewählten Beispiel ist dies, wenn der Spannungszeiger mit der reellen Achse zusammenfällt. Mathematische Bedeutung Was bedeutet mathematisch der Übergang von rotierenden zu ruhenden Zeigern? Der rotierende Zeiger veranschaulicht die Gleichungen des komplexen Momentanwertes des Stromes: bzw. Die Zeitabhängigkeit ist in der Exponentialform in dem Ausdruck ej··t enthalten. Dieser Faktor kann aus dem Term des komplexen Momentanwertes einer jeden Wechselgröße abgespaltet werden. Für die Stromstärke gilt: Da der Zeitfaktor ej··t die ganze Rechnung unverändert durchläuft und daher uninteressant ist, lässt man ihn fort und rechnet zur Vereinfachung nur mit der zeitunabhängigen Amplitude bzw. bei Division durch mit dem zeitunabhängigen komplexen Effektivwert: Dieser kann jetzt als ruhender Zeiger dargestellt werden, dessen Länge dem Effektivwert des Stromes entspricht. In der kartesischen Form erhält man die Komponenten des komplexen Effektivwertes I auf der reellen und imaginären Achse (Bild ). Da der Realteil als Wirkkomponente (-größe) und der Imaginärteil als Blindkomponente (-größe) bezeichnet werden, lautet die kartesische Form des komplexen Effektivwertes eines Wechselstromes: Aus Bild ergeben sich verallgemeinert für alle sinusförmigen Wechselgrößen der Betrag oder der Effektivwert der Wechselgröße, die so genannte und der Phasenwinkel sowie für die Wirkgröße = Scheingröße · cos und Blindgröße = Scheingröße · sin Werden in den vorstehenden Gleichungen das Wort „Größe“ durch das Formelzeichen der entsprechenden Wechselgröße ersetzt, ergeben sich die bekannten Gleichungen für zum Beispiel Blindstrom Wirkwiderstand Scheinleistung S P Q = + 2 2 R Z X = - 2 2 I I b = sin tan = Blindgröße Wirkgröße Scheingröße Wirkgröße Blindgröße 2 2 = + I I j I w b = + I I e j = ^ ^ i i e j = i i e e j t j = ^ i i e j t ( ) ^ i i t j i t = + ( ) + + ( ) ^ cos ^ sin 2 LERNEN KÖNNEN 1/05 G r u n d w i s s e n L e r n f e l d e r 1 - 5 Mathematik Zum Verständnis dieser Ausführung, müssen die vorangegangenen Beiträge zu den komplexe Zahlen verinnerlicht worden sein. Im letzten Beitrag [1] wurden rotierende Zeiger in der Wechselstromtechnik besprochen. In dieser Folge wird die Darstellung ruhender Zeiger in der Gauß´- schen Zahlenebene gezeigt. Ein weiter Schwerpunkt sind komplexe Widerstände. Komplexe Zahlen Ruhende Zeiger und komplexer Widerstand reell i u t2 + t1 + Richtung zur Zeit t2 Richtung zur Zeit t1 Betrag I j · Ib Blindkomponente Wirkkomponente Iw reell I komplexer Effektivwert Rotierende Strom- und Spannungszeiger Komponenten des ruhenden Stromzeigers Widerstände und Leitwerte Stromstärken werden bei konstanter Spannung von den Eigenschaften der Bauelemente beeinflusst, mit denen die unterschiedlichsten Schaltungen aufgebaut werden. Solche grundsätzlichen Eigenschaften bestehen entweder darin, den Stromfluss zu hemmen, sich dem Stromdurchgang zu widersetzen oder den Strom zu leiten. Diese Eigenschaften werden durch die physikalischen Größen Widerstand und Leitwert quantitativ bestimmt. Beide Größen können je nach Betrachtungsstandpunkt zu einer positiven oder negativen Bewertung ein und desselben Merkmals eines Bauelements führen. Bauelemente mit einem großen Leitwert haben eben einen kleinen Widerstand und umgekehrt. Der Leitwert eines Bauelements ist der Kehrwert seines Widerstandes. Widerstand im Wechselstromkreis Der Widerstand R ist bei Gleichstrom durch R = U/I definiert und nach dem Ohm´schen Gesetz bei unveränderlichen physikalischen Bedingungen konstant. Bei zeitlich veränderlichen Größen ist das Ohm´sche Gesetz nur für die Momentanwerte dieser Größen gültig. Ein Widerstand, für den auch bei Wechselstrom die reellen Momentanwerte von Strom und Spannung in jedem Zeitpunkt proportional sind, ist ein Sonderfall. Dieser Widerstand ist ein reeller Widerstand, der so genannte Wirkwiderstand. Wenn eine Wechselstromschaltung neben solchen reellen Widerständen auch Induktivitäten und Kapazitäten enthält, sind die Phasen von Spannung und Strom unterschiedlich. Der Quotient ihrer Momentanwerte ist dann von der Zeit abhängig, d. h. das für alle Berechnungen so wichtige Ohm´sche Gesetz besteht nicht mehr. Komplexer Widerstand Um ein neues Gesetz zu schaffen, das dem Ohm´schen Gesetz formal gleicht und die gleichen Berechnungen wie bei Gleichstrom gestattet, führt man als Größe den komplexen Widerstand Z ein. Er ist der Quotient der komplexen Amplituden von Spannung und Strom. Komplexer Widerstand: mit Der Absolutwert Z = Z des komplexen Widerstandes Z, der so genannte Scheinwiderstand, ist gleich dem Quotienten der Absolutwerte (Scheitelwerte) von Spannung U und Strom I. Da man mit den üblichen Messgeräten kaum die Scheitelwerte sondern die Effektivwerte U und I misst, gelten auch für die so gemessenen Werte die dem Ohm´schen Gesetz entsprechenden Gleichungen. In kartesischer Form gilt für den komplexen Widerstand Z = R +jX (Bild ) mit der Wirkkomponente (Wirkwiderstand) R und der Blindkomponente (Blindwiderstand) X. Die imaginäre Widerstandskomponente jX ist als induktiver Blindwiderstand = ·L und als kapazitiver Blindwiderstand durch frequenzabhängig. Es gelten selbstverständlich die bekannten Umrechnungsformen X = Z · sin Reihenschaltung In einer Reihenschaltung zweier komplexer Widerstände (Bild ) zeigen Z1 und Z2 das aus dem Gleichstromkreis bekannte Verhalten. Durch die Widerstände fließt ein Strom der komplexen Amplitude I. Über Z1 und Z2 entstehen durch I die Spannungsfälle mit den komplexen Amplituden = I · Z1 und U2 = I · Z2 Am Gesamtwiderstand der Reihenschaltung liegt die Spannung der komplexen Amplitude an U = U1 + U2 Der komplexe Gesamtwiderstand der Reihenschaltung ist dann Er setzt sich aus der Summe der komplexen Teilwiderstände zusammen In kartesischer Form wird mit = R1 + j · X1 und Z2 = R2 + j · X2 unter Berücksichtigung des Imaginärteils X = X1 + X2 und des Realteils R = R1 + R2 der komplexe Gesamtwiderstand Literatur [1] Spanneberg, H.: Komplexe Zahlen, Rotierende Zeiger in der Wechselstromtechnik. Elektropraktiker Berlin 58(2004)10, Lernen und Können S. 2 und 3. H. Spanneberg Z R j X = + Z Z Z = + 1 2 = + 1 2 tan = Z R X = + 2 2 R Z = cos 2 f C = Z Z e j = u i - = j u i = = ( ) Mathematik LERNEN KÖNNEN 1/05 G r u n d w i s s e n L e r n f e l d e r 1 - 5 Parallelschaltung komplexer Widerstände und Berechnungsbeispiele Fortsetzung LERNEN & KÖNNEN U1 U2 Z1 Z2 = u - i Betrag Z j X Blindkomponente (Blindwiderstand) Wirkkomponente (Wirkwiderstand) reell komplexer Widerstand (Scheinwiderstand) Reihenschaltung zweier komplexer Widerstände Widerstandszeiger
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- H. Spanneberg
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